تمرين محلول في الديناميكا الحرارية

التحقق من علاقة ماكسويل على تحول كظوم

تمرين 35 · الدرس 7 — البنية الرياضية: العلاقات الأساسية

نص المسألة

لنظام مغلق ثابت التركيب،

d U = T d S - P d V .

نعتبر غازًا مثاليًا سعته الحرارية المولية $c_{V}$ ثابتة، ونرمز $γ = c_{P} / c_{V}$ ، مع $c_{P} - c_{V} = R$ .

استنتج من تفاضل $U (S, V)$ علاقة ماكسويل $(\frac{\partial T}{\partial V})_{S} = - (\frac{\partial P}{\partial S})_{V} .$
احسب الطرف الأيسر انطلاقًا من $T V^{γ - 1} = const$ .
احسب الطرف الأيمن على حدة مستخدمًا $P = n R T / V$ و $d S = n c_{V} d T / T$ عند ثبات الحجم.
تحقق من تطابق النتيجتين.

تلميح

في السؤال 1، طابِق

T = (\partial U / \partial S)_{V}

- P = (\partial U / \partial V)_{S}

، ثم بدّل ترتيب الاشتقاق.

الحل

1. المتغيران الطبيعيان لـ

U

هما

S

V

. ومن ثم

T = (\frac{\partial U}{\partial S})_{V}, - P = (\frac{\partial U}{\partial V})_{S} .

وبما أن المشتقتين المتقاطعتين لـ $U$ متساويتان،

(\frac{\partial T}{\partial V})_{S} = \frac{\partial ^{2} U}{\partial V \partial S} = - (\frac{\partial P}{\partial S})_{V} .

2. على تحول كظوم عكوس، $T V^{γ - 1} = K$ . وبالتفاضل عند ثبات الإنتروبيا،

V^{γ - 1} d T + T (γ - 1) V^{γ - 2} d V = 0.

وبعد القسمة على $V^{γ - 1} d V$ ،

(\frac{\partial T}{\partial V})_{S} = - (γ - 1) \frac{T}{V} .

3. عند ثبات الحجم، $P = n R T / V$ ، إذن

(\frac{\partial P}{\partial S})_{V} = \frac{n R}{V} (\frac{\partial T}{\partial S})_{V} .

لكن $d S = n c_{V} d T / T$ عند ثبات الحجم، ومنه $(\partial T / \partial S)_{V} = T / (n c_{V})$ . وهكذا

- (\frac{\partial P}{\partial S})_{V} = - \frac{R T}{c _{V} V} .

4. تعطي علاقة ماير $R / c_{V} = (c_{P} - c_{V}) / c_{V} = γ - 1$ . فالطرف الأيمن يساوي إذن $- (γ - 1) T / V$ ، تمامًا كالطرف الأيسر.