علاقة غيبس–دوهيم والكمون الكيميائي للغاز المثالي

1. تفاضل علاقة أويلر هو

$$\mathrm{d}U=T\mathrm{d}S+S\mathrm{d}T-P\mathrm{d}V-V\mathrm{d}P+\mu \mathrm{d}n+n\mathrm{d}\mu .$$

وبطرح العلاقة الأساسية، تنعدم الحدود التي تتضمن $\mathrm{d}S$ و$\mathrm{d}V$ و$\mathrm{d}n$. فيبقى

$$S\mathrm{d}T-V\mathrm{d}P+n\mathrm{d}\mu =0.$$

2. نقسم هذه المساواة على $n$:

$$s\mathrm{d}T-v\mathrm{d}P+\mathrm{d}\mu =0,$$

أي $\mathrm{d}\mu =-s\mathrm{d}T+v\mathrm{d}P$.

3. عند ثبات درجة الحرارة، $\mathrm{d}T=0$. وللغاز المثالي،

$$\mathrm{d}\mu =v\mathrm{d}P=\frac{RT}{P}\mathrm{d}P.$$

وبالتكامل مع إظهار الحدود صراحة،

$$\mu (T,P_2)-\mu (T,P_1)=RT{\int }_{P_1}^{P_2}\frac{\mathrm{d}P}{P}=RT\ln \left(\frac{P_2}{P_1}\right).$$

4. إذا كان $P_2>P_1$، فإن $P_2/P_1>1$ و $\ln (P_2/P_1)>0$. وبما أن $R>0$ و$T>0$،

$$\mu (T,P_2)-\mu (T,P_1)>0.$$

فضغط الغاز عند درجة حرارة ثابتة يرفع إذن كمونه الكيميائي. وإذا أمكن لمنطقتين لهما درجة الحرارة نفسها أن تتبادلا المادة، فإن الانتقال التلقائي يتم من المنطقة ذات الكمون الكيميائي المرتفع نحو المنطقة ذات الكمون الكيميائي المنخفض، حتى يتساوى الكمونان.