تمرين محلول في الديناميكا الحرارية

تمدد ثابت الإنتروبيا وإعادة بناء علاقة أساسية

تمرين 38 · الدرس 7 — البنية الرياضية: العلاقات الأساسية

علاقة أساسية
تمدد ثابت الإنتروبيا
معادلات الحالة
تمثيل الإنتروبيا
شرط قابلية التكامل
المقادير المولية

نص المسألة

الجزء A. يوصف نظام بالعلاقة الأساسية المولية

u = \frac{A}{v} e^{s / (3 R)},

حيث $u$ و $v$ و $s$ الطاقة الداخلية والحجم والإنتروبيا المولية، و $A > 0$ ثابت و $R$ ثابت الغازات المثالية. تتميز الحالة الابتدائية بدرجة الحرارة $T_{0}$ والضغط $P_{0}$ .

عبّر عن $T$ و $P$ بدلالة $u$ و $v$ . استنتج معادلة الحالة التي تربط $P$ و $v$ و $T$ .
يخضع النظام لتمدد ثابت الإنتروبيا حتى يُقسم ضغطه على ثمانية. عبّر عن درجة الحرارة النهائية بدلالة $T_{0}$ وحدها.

الجزء B. يخضع نظام آخر، كمية مادته ثابتة، لمعادلتي الحالة

U = 2 P V, P = B T^{3},

حيث $B > 0$ ثابت.

عبّر عن $1/ T$ و $P / T$ بدلالة $U$ و $V$ .
لا يمكن أن توجد علاقة أساسية $S (U, V)$ إلا إذا تساوت المشتقتان المتقاطعتان: $\partial (1/ T) / \partial V = \partial (P / T) / \partial U$ . تحقق من هذا الشرط.
حدّد العلاقة الأساسية $S (U, V)$ بتقريب ثابت. تحقق من أنها تعيد فعلًا معادلتي الحالة، ثم من أنها امتدادية.

تلميح

الجزء A:

T = (\partial u / \partial s)_{v}

P = - (\partial u / \partial v)_{s}

؛ وعلى طول تحول ثابت الإنتروبيا، تكون

s

مثبتة ويُعبَّر عن كل شيء بدلالة

v

. الجزء B:

d S = (1/ T) d U + (P / T) d V

. كامِل أولًا

(\partial S / \partial U)_{V} = 1/ T

عند ثبات

V

، مع إضافة دالة

f (V)

، ثم حدّد

f

بالاستعانة بـ

(\partial S / \partial V)_{U} = P / T

الحل المفصل

الحل

السؤال 1. عند ثبات

v

، مشتقة

e^{s / (3 R)}

بالنسبة إلى

s

هي

e^{s / (3 R)} / (3 R)

، ومنه

T = (\frac{\partial u}{\partial s})_{v} = \frac{A}{v} \frac{e ^{s / (3 R)}}{3 R} = \frac{u}{3 R} .

وعند ثبات $s$ ، مشتقة $v^{- 1/2}$ هي $- \frac{1}{2} v^{- 3/2}$ ، ومنه

P = - (\frac{\partial u}{\partial v})_{s} = \frac{1}{2} A v^{- 3/2} e^{s / (3 R)} = \frac{u}{2 v} .

تعطي العلاقة الأولى $u = 3 R T$ . وبتعويضها في الثانية،

P = \frac{3 R T}{2 v}, أي P v = \frac{3}{2} R T .

السؤال 2. على طول التحول ثابت الإنتروبيا، تكون $s$ ثابتة، إذن $u = A e^{s / (3 R)} v^{- 1/2}$ متناسب مع $v^{- 1/2}$ . وينتج عن ذلك

T = \frac{u}{3 R} \propto v^{- 1/2}, P = \frac{u}{2 v} \propto v^{- 3/2} .

وقسمة الضغط على ثمانية تفرض

(\frac{v _{f}}{v _{0}})^{- 3/2} = \frac{1}{8} ⟹ (\frac{v _{f}}{v _{0}})^{3/2} = 8 ⟹ \frac{v _{f}}{v _{0}} = 8^{2/3} = 4.

وبما أن درجة الحرارة متناسبة مع $v^{- 1/2}$ ،

T_{f} = T_{0} (\frac{v _{f}}{v _{0}})^{- 1/2} = \frac{T _{0}}{4} = \frac{T _{0}}{2} .

السؤال 3. تعطي معادلتا الحالة $U = 2 P V = 2 B V T^{3}$ ، ومنه

T = (\frac{U}{2 B V})^{1/3}, \frac{1}{T} = (\frac{2 B V}{U})^{1/3} = (2 B)^{1/3} V^{1/3} U^{- 1/3} .

ومن جهة أخرى $P / T = B T^{2}$ ، وبتعويض $T$ ،

\frac{P}{T} = B (\frac{U}{2 B V})^{2/3} = \frac{B ^{1/3}}{2 ^{2/3}} U^{2/3} V^{- 2/3} .

السؤال 4. نشتق $1/ T$ بالنسبة إلى $V$ ، عند ثبات $U$ :

\frac{\partial}{\partial V} (\frac{1}{T}) = \frac{1}{3} (2 B)^{1/3} V^{- 2/3} U^{- 1/3} .

ونشتق $P / T$ بالنسبة إلى $U$ ، عند ثبات $V$ :

\frac{\partial}{\partial U} (\frac{P}{T}) = \frac{2}{3} \frac{B ^{1/3}}{2 ^{2/3}} U^{- 1/3} V^{- 2/3} .

وبما أن $(2 B)^{1/3} = 2 \cdot 2^{- 2/3} B^{1/3}$ ، تُكتب النتيجة الأولى أيضًا $\frac{2}{3} 2^{- 2/3} B^{1/3} V^{- 2/3} U^{- 1/3}$ : فالمشتقتان المتقاطعتان متساويتان. ويمكن إذن أن يكون الشكل $(1/ T) d U + (P / T) d V$ تفاضلًا لدالة $S (U, V)$ . أما معادلتا حالة تُختاران عشوائيًا فلا تحققان هذا الشرط عمومًا.

السؤال 5. عند ثبات

V

، نكامل

1/ T

بالنسبة إلى

U

. ودالة أصلية لـ

U^{- 1/3}

هي

\frac{3}{2} U^{2/3}

، ومنه

S (U, V) = \frac{3}{2} (2 B)^{1/3} V^{1/3} U^{2/3} + f (V),

حيث $f$ دالة في $V$ وحده. نشتق بالنسبة إلى $V$ :

(\frac{\partial S}{\partial V})_{U} = \frac{3}{2} (2 B)^{1/3} \cdot \frac{1}{3} V^{- 2/3} U^{2/3} + f^{'} (V) = \frac{1}{2} (2 B)^{1/3} U^{2/3} V^{- 2/3} + f^{'} (V) .

لكن $\frac{1}{2} (2 B)^{1/3} = 2^{- 2/3} B^{1/3}$ : فالحد الأول هو بالضبط $P / T$ . يجب إذن أن يكون $f^{'} (V) = 0$ ، أي أن تكون $f$ ثابتة، و

S (U, V) = \frac{3}{2} (2 B V U^{2})^{1/3} + const .

وبالعكس، تعيد مشتقات هذه الدالة $1/ T$ و $P / T$ في السؤال 3، ومن ثم معادلتي الحالة الأصليتين. وأخيرًا، عند ضرب $U$ و $V$ في $λ$ ، يُضرب الجداء $V U^{2}$ في $λ^{3}$ وجذره التكعيبي في $λ$ : فـ $S$ ، بتقريب ثابت جمعي، متجانسة من الدرجة الأولى، ومن ثم امتدادية.