تمرين محلول في الديناميكا الحرارية

غاز الفوتونات في الكون

تمرين 39 · الدرس 7 — البنية الرياضية: العلاقات الأساسية

غاز الفوتونات
الإشعاع
إشعاع الخلفية الكونية الميكروي
علاقة أساسية
تمدد كظوم
دالة متجانسة
كمون كيميائي معدوم

نص المسألة

في اللحظات الأولى من عمر الكون، كانت المادة بلازما ساخنة من النوى والإلكترونات والفوتونات. وعند $T_{i} \approx 3000 K$ تقريبًا، تتشكل أولى الذرات وتصبح الفوتونات حرة. نعتبر أن غاز الفوتونات في هذه اللحظة في حالة توازن عند درجة الحرارة $T_{i}$ ، ثم إنه يخضع لتمدد كظوم عكوس مع توسع الكون. نقبل علاقته الأساسية

S (U, V) = \frac{4}{3} a V^{1/4} U^{3/4},

حيث $a$ ثابت موجب ذو أبعاد. لا تعتمد الإنتروبيا على عدد الفوتونات $N$ : فهذا العدد غير محفوظ.

ذكّر بتعريف الدالة المتجانسة من الدرجة الأولى وبيّن أن $S$ دالة من هذا النوع.
ارسم شكل منحنى $S$ بدلالة $U$ عند ثبات $V$ . هل هذه الدالة مقعرة؟ علّق.
حدّد $T$ و $P$ و $μ$ انطلاقًا من مشتقات $S$ . بيّن خصوصًا أن $U = a^{4} V T^{4}$ وأن $P = U / (3 V)$ ، ثم علّق على قيمة $μ$ .
اكتب المبدأ الأول لهذا الغاز وخصّصه لتمدد كظوم عكوس. استنتج علاقة بين $U$ و $V$ على طول هذا التحول.
استنتج أن $V T^{3}$ يبقى ثابتًا على طول التمدد.
استعد هذه النتيجة مباشرة، انطلاقًا من الإنتروبيا معبَّرًا عنها بدلالة $T$ و $V$ .
يُرصد غاز الفوتونات اليوم عند $T_{f} \approx 3 K$ : إنه إشعاع الخلفية الكونية الميكروي. بأي عامل تضاعف حجم الكون منذ الانبعاث؟

تلميح

في تمثيل الإنتروبيا،

1/ T = (\partial S / \partial U)_{V}

P / T = (\partial S / \partial V)_{U}

μ / T = - (\partial S / \partial N)_{U, V}

. وفي السؤال 4، يحقق التحول الكظوم العكوس

d S = 0

، إذن

d U = - P d V

: افصل المتغيرات.

الحل المفصل

الحل

السؤال 1. تكون دالة

f

في عدة متغيرات متجانسة من الدرجة الأولى إذا كان

f (λ x, λ y) = λ f (x, y)

لكل

λ > 0

. وهنا،

S (λ U, λV) = \frac{4}{3} a (λV)^{1/4} (λ U)^{3/4} = \frac{4}{3} a λ^{1/4 + 3/4} V^{1/4} U^{3/4} = λ S (U, V) .

فإنتروبيا غاز الفوتونات امتدادية إذن.

السؤال 2. عند ثبات

V

، تتناسب

S

مع

U^{3/4}

. ومشتقتها الأولى،

(\frac{\partial S}{\partial U})_{V} = a V^{1/4} U^{- 1/4} > 0,

موجبة: فـ $S$ تتزايد مع $U$ ، ودرجة الحرارة موجبة. ومشتقتها الثانية،

(\frac{\partial ^{2} S}{\partial U ^{2}})_{V} = - \frac{a}{4} V^{1/4} U^{- 5/4} < 0,

سالبة: فـ $S$ مقعرة في $U$ . ينطلق المنحنى من المبدأ بمماس رأسي، ثم ينحني باقيًا فوق أوتاره. ويعبّر هذا التقعر عن استقرار توازن غاز الفوتونات.

السؤال 3. وفقًا للسؤال 2،

\frac{1}{T} = a (\frac{V}{U})^{1/4} ⟹ (\frac{U}{V})^{1/4} = a T ⟹ U = a^{4} V T^{4} .

والمشتقة بالنسبة إلى $V$ ، عند ثبات $U$ ، هي

\frac{P}{T} = (\frac{\partial S}{\partial V})_{U} = \frac{4}{3} a \cdot \frac{1}{4} V^{- 3/4} U^{3/4} = \frac{a}{3} (\frac{U}{V})^{3/4} .

لكن $(U / V)^{3/4} = ((U / V)^{1/4})^{3} = a^{3} T^{3}$ ، ومنه

P = T \cdot \frac{a}{3} \cdot a^{3} T^{3} = \frac{a ^{4} T ^{4}}{3} = \frac{U}{3 V} .

وأخيرًا، لا تعتمد $S$ على $N$ ، إذن $μ = - T (\partial S / \partial N)_{U, V} = 0$ . فالكمون الكيميائي للفوتونات معدوم: بما أن عددها غير محفوظ، فإنه يتعدّل بحرية عند التوازن، وإضافة فوتون لا تكلف شيئًا.

السؤال 4. بما أن الحد

μ d N

معدوم، تُكتب العلاقة الأساسية التفاضلية

d U = T d S - P d V

. ولتمدد كظوم عكوس،

d S = 0

، إذن، مع

P = U / (3 V)

d U = - P d V = - \frac{U}{3 V} d V ⟹ \frac{d U}{U} = - \frac{1}{3} \frac{d V}{V} .

وبالتكامل بين الحالة الابتدائية وحالة كيفية من التمدد، $ln (U / U_{i}) = - \frac{1}{3} ln (V / V_{i})$ ، أي

U V^{1/3} = const .

السؤال 5. نضع $a^{4} V T^{4}$ مكان $U$ :

a^{4} V T^{4} \cdot V^{1/3} = a^{4} V^{4/3} T^{4} = const .

وبما أن $a$ ثابت، فإن $V^{4/3} T^{4} = (V^{1/3} T)^{4}$ ثابت، إذن $V^{1/3} T$ ثابت أيضًا؛ وبالرفع إلى القوة الثالثة، $V T^{3} = const$ .

السؤال 6. نعبّر عن

S

بدلالة

T

V

بوضع

a^{4} V T^{4}

مكان

U

فيها:

S = \frac{4}{3} a V^{1/4} (a^{4} V T^{4})^{3/4} = \frac{4}{3} a V^{1/4} a^{3} V^{3/4} T^{3} = \frac{4}{3} a^{4} V T^{3} .

التمدد الكظوم العكوس ثابت الإنتروبيا: $S$ ثابتة، إذن $V T^{3}$ ثابت أيضًا. فنستعيد مباشرة نتيجة السؤال 5.

السؤال 7. بما أن

V T^{3}

محفوظ،

\frac{V _{f}}{V _{i}} = (\frac{T _{i}}{T _{f}})^{3} = (\frac{3000}{3})^{3} = (1 0^{3})^{3} = 1 0^{9} .

لقد تضاعف حجم الكون مليار مرة منذ الانبعاث، وهذا يقابل عاملًا $1 0^{3}$ على المسافات. والإشعاع المنبعث عند نحو $3000 K$ ، الذي برّده التوسع، هو إشعاع الخلفية الكونية الميكروي المقيس اليوم عند $2, 7 K$ .