تغيير حجم النظام

لنظام متجانس معتاد كتلة $m$ وحجم $V$ وعدد جسيمات $N$ وطاقة داخلية $U$ ودرجة حرارة $T$ وضغط $P$. نفترض هنا أن $U$ امتدادية، مع إهمال التفاعلات بعيدة المدى والآثار الحدية. نغير حجم النظام مع إبقاء حالته المكثفة ثابتة: $(m,V,N,U)\mapsto (\lambda m,\lambda V,\lambda N,\lambda U)$، حيث $\lambda >0$، بينما تبقى $T$ و$P$ دون تغيير.

1. حدد درجة التجانس لكل من $m/V$ و$V/N$ و$U/N$ و$PV$ و$U^2/V$ و$V^{1/3}$. أي هذه المقادير امتدادي، وأيها مكثف، وأيها ليس هذا ولا ذاك؟
2. نقترح عبارتين لطاقة ما، $U_1=aN{k}_{\mathrm{B}}T$ و$U_2=a{N}^2{k}_{\mathrm{B}}T$، حيث $a>0$ عدد لا بعدي مستقل عن حجم النظام. تحقق من أبعادهما، ثم حدد أيهما يتوافق مع فرضية الامتدادية. وذكّر بسبب اختلاف هاتين العمليتين من التحقق.
3. لكرة نصف قطرها $R$، عبّر عن المساحة $A$ بدلالة الحجم $V$. ثم حدد درجتي التجانس لـ$A$ و$A/V$ عند تكبير كرة واحدة مع إبقاء الكثافة ثابتة.
4. قارن مساحة كرة حجمها $8V$ بالمساحة الكلية لثماني كرات منفصلة حجم كل منها $V$. واشرح لماذا لا تعطي عمليتا «تكبير جسم» و«وضع نسخ منه جنبا إلى جنب» النتيجة نفسها لمساحة سطوحه البينية.