تمرين محلول في الديناميكا الحرارية

عدّ المتغيرات المستقلة

تمرين 8 · الدرس 3 — المفاهيم الأساسية

معادلة الحالة
درجات الحرية
القيود
إحداثيات الحالة

نص المسألة

نصف حالات توازن غاز مثالي بالمتغيرات الموجبة الأربعة $(P, V, T, n)$ ، المرتبطة بالعلاقة $P V = n R T$ . ونبحث عن البعد $d = q - r$ لمجموعة الحالات المتاحة، حيث $q$ عدد المتغيرات المستعملة و $r$ عدد العلاقات المستقلة.

حدد $q$ و $r$ و $d$ عندما يمكن لـ $n$ أن يتغير. اقترح ثلاث إحداثيات مستقلة وعبّر عن المتغير الرابع.
أعد العد لكمية مادة ثابتة $n = n_{0}$ ، ثم عند فرض $T = T_{0}$ أيضا، ثم أخيرا $V = V_{0}$ . أعط في كل مرحلة اختيارا لإحداثيات الحالات المتاحة.
يضيف طالب إلى $P V = n R T$ العلاقة $P = n R T / V$ فيعد معادلتي حالة. اشرح خطأه.
يشغل غازان مثاليان، كميتا مادتهما ثابتتان $n_{1}, n_{2}$ ، حجرتي وعاء حجمه الكلي $V_{tot}$ . ويفصل بينهما مكبس نافذ للحرارة، يتحرك بلا احتكاك ولا قوة خارجية. ولا نثبت درجة الحرارة المشتركة. عُدّ، عند التوازن، العلاقات المستقلة بين $(P_{1}, V_{1}, T_{1}, P_{2}, V_{2}, T_{2})$ . ثم عبّر عن الحجمين والضغط المشترك بدلالة إحداثية متبقية واحدة.

تلميح

احتفظ بالمتغيرات الأربعة الأصلية في عمليات العد الثلاث في السؤال 2، وأضف قيدا في كل مرحلة. وفي حالة المكبس، استعمل معادلتي الحالة والحجم الكلي والتوازن الحراري والتوازن الميكانيكي.

الحل المفصل

الحل

السؤال 1. نستعمل

q = 4

متغيرات وعلاقة مستقلة واحدة، أي

r = 1

d = 3

. ويمكن اختيار

(V, T, n)

: فيكون المتغير المتبقي عندئذ

P = n R T / V

. ويسمح الشرط

V > 0

بهذه القسمة. السؤال 2. في حالة الغاز المغلق، العلاقتان هما

P V = n R T

n = n_{0}

، إذن

r = 2

d = 4 - 2 = 2

. ويصلح الزوج

(V, T)

، مع

P = n_{0} R T / V

. ولو حذفنا

n

من قائمة المتغيرات منذ البداية، لكان لدينا أيضا

q = 3

r = 1

، ومن ثم

d = 2

نفسه. يرفع القيد الإضافي

T = T_{0}

قيمة

r

إلى

3

ويعطي

d = 1

. ويكفي الحجم

V

لوسم الحالات، لأن

P = n_{0} R T_{0} / V

. وأخيرا، يرفع فرض

V = V_{0}

قيمة

r

إلى

4

ويعطي

d = 0

: تبقى حالة وحيدة، عند

P = n_{0} R T_{0} / V_{0}

. ولا تحتاج هذه المجموعة الأخيرة إلى أي إحداثية حرة. فهذه القيود تقلص المجموعة المتاحة، لا عدد المتغيرات اللازم لوصف الغاز في غياب القيود. السؤال 3. بما أن

V > 0

، نحصل على الصيغة الثانية بقسمة الأولى على

V

. فكل حالة تحقق إحداهما تحقق الأخرى تلقائيا. ومن ثم لا تستبعد العلاقة الثانية أي حالة إضافية ولا تزيد

r

. فالمطلوب عدّ القيود المستقلة، لا عدّ أسطر المعادلات. السؤال 4. تحقق المتغيرات الستة العلاقات الخمس

P_{1} V_{1} = n_{1} R T_{1}, P_{2} V_{2} = n_{2} R T_{2}, V_{1} + V_{2} = V_{tot}, T_{1} = T_{2}, P_{1} = P_{2} .

لنضع $T = T_{1} = T_{2}$ و $P = P_{1} = P_{2}$ . يعطي جمع معادلتي الحالة

P (V_{1} + V_{2}) = (n_{1} + n_{2}) R T, P = \frac{( n _{1} + n _{2} ) R T}{V _{tot}} .

وبالتعويض في كل معادلة حالة،

V_{1} = \frac{n _{1} R T}{P} = \frac{n _{1}}{n _{1} + n _{2}} V_{tot}, V_{2} = \frac{n _{2} R T}{P} = \frac{n _{2}}{n _{1} + n _{2}} V_{tot} .

يُختزل المعامل $R T$ في الحجمين، لا في الضغط. وتبقى درجة الحرارة $T > 0$ حرة وتحدد جميع المتغيرات الأخرى: فالعلاقات الخمس مستقلة فعلا و $d = 6 - 5 = 1$ . ويمكن لمعطى إضافي متعلق بالطاقة أن ينتقي حالة بعينها؛ لكنه غير مفروض هنا.