تمرين محلول في الديناميكا الحرارية

تكامل شكل تفاضلي على طول مسار

تمرين 6 · الدرس 4 — المبدأ الأول للديناميكا الحرارية

  • شكل تفاضلي، تفاضل تام، معيار شوارز، تكامل خطي

نسخة عمل — لا يزال هذا التمرين قيد المراجعة.

نص المسألة

لنعتبر الشكلين التفاضليين

ω1=y dx+x dy,ω2=y dx,\omega_1 = y\,\mathrm{d}x + x\,\mathrm{d}y, \qquad \omega_2 = y\,\mathrm{d}x,

وثلاثة مسارات تصل المبدأ O(0,0)O(0,0) بالنقطة M(1,1)M(1,1): يتكون المسار γ1\gamma_1 من القطعة الأفقية O→(1,0)O\to(1,0) تليها القطعة العمودية (1,0)→M(1,0)\to M؛ ويتكون المسار γ2\gamma_2 من القطعة العمودية O→(0,1)O\to(0,1) تليها القطعة الأفقية (0,1)→M(0,1)\to M؛ أما المسار γ3\gamma_3 فهو القطعة المستقيمة التي تصل OO مباشرةً بـ MM.

  1. بيّن أن ω1\omega_1 تام بإيجاد دالة ff تحقق ω1=df\omega_1=\mathrm{d}f.
  2. احسب ∫γ1ω1\int_{\gamma_1}\omega_1 و∫γ2ω1\int_{\gamma_2}\omega_1 بتمثيل كل قطعة وسيطيًا. استنتج النتيجة من دون حساب.
  3. طبّق معيار شوارز على ω2\omega_2. ماذا نستنتج؟
  4. احسب ∫γ1ω2\int_{\gamma_1}\omega_2 و∫γ2ω2\int_{\gamma_2}\omega_2 و∫γ3ω2\int_{\gamma_3}\omega_2، ثم علّق.

تلميح
على قطعة أفقية dy=0\mathrm{d}y=0، وعلى قطعة عمودية dx=0\mathrm{d}x=0؛ لذلك يُختزل كل تكامل إلى تكامل بسيط.

الحل المفصل

الحل
السؤال 1. تصلح f(x,y)=xyf(x,y)=xy لأن ∂f/∂x=y\partial f/\partial x=y و∂f/∂y=x\partial f/\partial y=x.

السؤال 2. لمنحنى ممثّل وسيطيًا بالعلاقة t↦(x(t),y(t))t\mapsto\bigl(x(t),y(t)\bigr) لدينا

∫γω1=∫[y(t)x′(t)+x(t)y′(t)] dt.\int_\gamma\omega_1 = \int \left[y(t)x'(t)+x(t)y'(t)\right]\,\mathrm{d}t.

المسار γ1\gamma_1 اتحاد قطعتين. على الأولى x(t)=tx(t)=t وy(t)=0y(t)=0، حيث t∈[0,1]t\in[0,1]؛ ومن ثم dx=dt\mathrm{d}x=\mathrm{d}t وdy=0\mathrm{d}y=0. وعلى الثانية x(t)=1x(t)=1 وy(t)=ty(t)=t، مع t∈[0,1]t\in[0,1] أيضًا؛ ومن ثم dx=0\mathrm{d}x=0 وdy=dt\mathrm{d}y=\mathrm{d}t. لذلك

I1=∫γ1ω1=∫01(0×1+t×0) dt+∫01(t×0+1×1) dt=0+∫01dt=1.\begin{aligned} I_1 = \int_{\gamma_1}\omega_1 &= \int_0^1\left(0\times 1+t\times 0\right)\,\mathrm{d}t + \int_0^1\left(t\times 0+1\times 1\right)\,\mathrm{d}t \\ &= 0+\int_0^1\mathrm{d}t = 1. \end{aligned}

في γ2\gamma_2 تُمثّل القطعة الأولى بـ x(t)=0x(t)=0 وy(t)=ty(t)=t، ثم الثانية بـ x(t)=tx(t)=t وy(t)=1y(t)=1، حيث t∈[0,1]t\in[0,1] في الحالتين. إذن

I2=∫γ2ω1=∫01(t×0+0×1) dt+∫01(1×1+t×0) dt=0+∫01dt=1.\begin{aligned} I_2 = \int_{\gamma_2}\omega_1 &= \int_0^1\left(t\times 0+0\times 1\right)\,\mathrm{d}t + \int_0^1\left(1\times 1+t\times 0\right)\,\mathrm{d}t \\ &= 0+\int_0^1\mathrm{d}t = 1. \end{aligned}

القيمتان متساويتان. وكان يمكن توقّع ذلك من دون حساب: بما أن ω1=df\omega_1=\mathrm{d}f مع f(x,y)=xyf(x,y)=xy، فإن تكامله لا يعتمد إلا على الطرفين،

∫γω1=f(M)−f(O)=f(1,1)−f(0,0)=1.\int_\gamma\omega_1=f(M)-f(O)=f(1,1)-f(0,0)=1.

السؤال 3. نكتب ω2=A(x,y) dx+B(x,y) dy\omega_2=A(x,y)\,\mathrm{d}x+B(x,y)\,\mathrm{d}y. هنا A(x,y)=yA(x,y)=y وB(x,y)=0B(x,y)=0. لو كان الشكل تامًا لأعطى معيار شوارز

∂A∂y=∂B∂x.\frac{\partial A}{\partial y}=\frac{\partial B}{\partial x}.

لكن ∂A/∂y=1\partial A/\partial y=1 في حين أن ∂B/∂x=0\partial B/\partial x=0. المشتقتان المتصالبتان مختلفتان، ولذلك ليس ω2\omega_2 تامًا. وقد يعتمد تكامله على المسار المتّبع بين OO وMM، كما يؤكد الحساب الآتي.

السؤال 4. بما أن ω2=y dx\omega_2=y\,\mathrm{d}x، فلا يسهم في التكامل إلا تغير xx عند قيمة غير صفرية لـ yy. باستعمال التمثيلات السابقة نجد على γ1\gamma_1

J1=∫γ1ω2=∫010×1 dt+∫01t×0 dt=0.\begin{aligned} J_1 =\int_{\gamma_1}\omega_2 &=\int_0^1 0\times 1\,\mathrm{d}t +\int_0^1 t\times 0\,\mathrm{d}t \\ &=0. \end{aligned}

على القطعة الأولى من γ2\gamma_2 لدينا x(t)=0x(t)=0، ومن ثم dx=0\mathrm{d}x=0؛ وعلى الثانية x(t)=tx(t)=t وy(t)=1y(t)=1 وdx=dt\mathrm{d}x=\mathrm{d}t. لذلك

J2=∫γ2ω2=∫01t×0 dt+∫011×1 dt=1.\begin{aligned} J_2 =\int_{\gamma_2}\omega_2 &=\int_0^1 t\times 0\,\mathrm{d}t +\int_0^1 1\times 1\,\mathrm{d}t \\ &=1. \end{aligned}

وأخيرًا يُمثَّل القطر γ3\gamma_3 صراحةً بـ

x(t)=t,y(t)=t,t∈[0,1],x(t)=t,\qquad y(t)=t,\qquad t\in[0,1],

ومن ثم dx=dt\mathrm{d}x=\mathrm{d}t وdy=dt\mathrm{d}y=\mathrm{d}t. فنحصل على

J3=∫γ3ω2=∫01y(t)x′(t) dt=∫01t dt=12.J_3 =\int_{\gamma_3}\omega_2 =\int_0^1 y(t)x'(t)\,\mathrm{d}t =\int_0^1 t\,\mathrm{d}t =\frac12.

للمسارات الثلاثة الطرفان نفسيهما، لكنها تعطي ثلاث قيم مختلفة: J1=0J_1=0 وJ2=1J_2=1 وJ3=1/2J_3=1/2. وهذا بالضبط اعتماد الشكل التفاضلي غير التام على المسار.