غازان يفصل بينهما حاجز داخلي

السؤال 1. يبين الرسم وعاء صلبا حجمه الكلي $2V$ يقسمه حاجز. إلى اليسار: $(n_1,T_1,V,P_0)$؛ وإلى اليمين: $(3n_1,T_1/2,V,P_{2,i})$. الجدران الخارجية كظومة. مع حاجز داخلي ثابت وغير نفوذ وكظوم، لا يسمح بأي تبادل: يحتفظ كل غاز بحالته حتى لو اختلفت درجتا الحرارة والضغطان. تتحمل دعامة الحاجز فرق الضغط.

السؤال 2 — الحساب الجبري. تعطي معادلة الغاز المثالي

$$P_{1,i}=\frac{n_1RT_1}{V}=P_0, \qquad P_{2,i}=\frac{3n_1R(T_1/2)}{V}=\frac32P_0.$$

السؤال 3 — حاجز ثابت نافذ للحرارة. أثناء انتقال صغير للطاقة يحقق $\mathrm{d}U_2=-\mathrm{d}U_1$، تبقى الحجوم ثابتة: لكل غاز، $\mathrm dS_j=\mathrm dU_j/T_j$. بالجمع نجد

$$\mathrm dS_{\mathrm{tot}}=\frac{\mathrm dU_1}{T_1} +\frac{\mathrm dU_2}{T_2} =\frac{\mathrm dU_1}{T_1}-\frac{\mathrm dU_1}{T_2}.$$

درجات الحرارة في هذا التغير تخص الحالة المدروسة. باستخراج العامل المشترك،

$$\mathrm{d}S_{\mathrm{tot}} =\left(\frac1{T_1}-\frac1{T_2}\right)\mathrm{d}U_1.$$

عند التوازن، الإنتروبيا عظمى؛ لذا يجب أن ينعدم معامل $\mathrm{d}U_1$، مما يفرض $T_{1,f}=T_{2,f}=T_f$. يعطي انحفاظ الطاقة

$$n_1\frac32R(T_f-T_1) +3n_1\frac32R\left(T_f-\frac{T_1}{2}\right)=0,$$

بقسمة حصيلة الطاقة على $(3/2)n_1R$ نجد

$$(T_f-T_1)+3\left(T_f-\frac{T_1}{2}\right)=0, \quad 4T_f-\frac52T_1=0, \quad T_f=\frac58T_1.$$

ثم $P_{1,f}=n_1RT_f/V=(T_f/T_1)P_0$ و$P_{2,f}=3n_1RT_f/V=3(T_f/T_1)P_0$، ولذلك

$$T_f=\frac58T_1, \qquad P_{1,f}=\frac58P_0, \qquad P_{2,f}=\frac{15}{8}P_0.$$

بما أن الحاجز ثابت، لا يفرض التوازن الميكانيكي بين الغازين: يمكن أن يختلف ضغطاهما النهائيان.

السؤال 4 — حصيلة الإنتروبيا. يتلقى الغاز 2 طاقة على صورة حرارة حصرا،

$$Q_{1\to2}=\Delta U_2 =3n_1\frac32R\left(\frac58T_1-\frac12T_1\right) =\frac9{16}n_1RT_1.$$

يتلقى الغاز 1 الحرارة المعاكسة: $Q_1=-Q_{1\to2}<0$، بينما $Q_2=Q_{1\to2}>0$. الحاجز ثابت، ولذلك $W_1=W_2=0$. المجموعة معزولة، ولذلك $S_{\mathrm{e}}=0$ و$S_{\mathrm{i}}=\Delta S_{\mathrm{tot}}$. بما أن الحجوم ثابتة،

$$\Delta S_1=\frac32n_1R\ln\frac{T_f}{T_1} =\frac32n_1R\ln\frac58, \Delta S_2=\frac32(3n_1)R\ln\frac{T_f}{T_1/2} =\frac92n_1R\ln\frac54.$$

يفقد الغاز 1 إنتروبيا ويكتسبها الغاز 2. مجموعهما هو

$$S_{\mathrm{i}} =\frac32n_1R\left[ \ln\!\left(\frac58\right) +3\ln\!\left(\frac54\right) \right]>0.$$

يعكس إنتاج الإنتروبيا هذا انتقال الحرارة التلقائي بين غازين مختلفي درجة الحرارة في البداية. للتحقق من الإشارة دون قيم عددية، نجمع اللوغاريتمات:

$$\ln\frac58+3\ln\frac54 =\ln\left[\frac58\left(\frac54\right)^3\right] =\ln\frac{625}{512}>0.$$

السؤال 5 — حاجز متحرك نافذ للحرارة. مع $\mathrm{d}U_2=-\mathrm{d}U_1$ و$\mathrm{d}V_2=-\mathrm{d}V_1$،

$$\mathrm{d}S_{\mathrm{tot}} =\left(\frac1{T_1}-\frac1{T_2}\right)\mathrm{d}U_1 +\left(\frac{P_1}{T_1}-\frac{P_2}{T_2}\right)\mathrm{d}V_1.$$

يسمح الحاجز بإعادة توزيع الطاقة والحجم بصورة مستقلة. لذا يجب أن يتحقق انعدام التغير من الرتبة الأولى لكل $\mathrm dU_1$ ولكل $\mathrm dV_1$: ينعدم المعاملان. يفرض الأول $T_{1,f}=T_{2,f}$، ثم يعطي الثاني $P_{1,f}/T_f=P_{2,f}/T_f$، أي $P_{1,f}=P_{2,f}$. يعطي انحفاظ الطاقة مجددا $T_f=5T_1/8$. عند ضغط ودرجة حرارة مشتركين، تتناسب الحجوم مع كميتي المادة. وبما أن مجموعهما $2V$،

$$\frac{V_{2,f}}{V_{1,f}}=\frac{3n_1RT_f/P_f}{n_1RT_f/P_f}=3, \qquad V_{1,f}+3V_{1,f}=2V.$$

إذن $V_{1,f}=V/2$ و$V_{2,f}=3V/2$.

الضغط المشترك هو $P_f=n_1R(5T_1/8)/(V/2)=(5/4)P_0$. ومنه

$$V_{1,f}=\frac V2, \qquad V_{2,f}=\frac{3V}{2}, \qquad P_f=\frac54P_0.$$

تغيرا الطاقة الداخلية هما نفسهما في حالة الحاجز الثابت، لكن الطاقة تتبادل الآن على صورتي الحرارة والشغل. تتضمن حصيلة الإنتروبيا حدود درجة الحرارة نفسها في السؤال 4، مع حدود حجم إضافية:

$$\Delta S_1=\frac32n_1R\ln\frac58+n_1R\ln\frac{V/2}{V}, \Delta S_2=\frac92n_1R\ln\frac54+3n_1R\ln\frac{3V/2}{V}.$$

بالجمع نجد

$$S_{\mathrm{i}}=\Delta S_{\mathrm{tot}} =\frac32n_1R\left[ \ln\!\left(\frac58\right)+3\ln\!\left(\frac54\right) \right] +n_1R\left[ \ln\!\left(\frac12\right)+3\ln\!\left(\frac32\right) \right]>0.$$

الزيادة مقارنة بحالة الحاجز الثابت هي

$$n_1R\left[\ln\frac12+3\ln\frac32\right] =n_1R\ln\left[\frac12\left(\frac32\right)^3\right] =n_1R\ln\frac{27}{16}>0.$$

إذن يزيد السماح بحركة الحاجز الإنتروبيا النهائية التي يمكن للنظام بلوغها.