热力学习题详解

扩展肥皂膜所需的功

习题 13 · 课程 4 — 热力学第一定律

表面张力
广义功
界面
肥皂膜

题目

一张平面肥皂膜张在一个矩形框架上，框架的一根长度为 $ℓ$ 的横杆可以无摩擦地滑动。横杆与框架对边之间的距离 $x$ 从 $x_{A}$ 增加到 $x_{B}$ 。肥皂膜有两个空气–液体界面，每个界面的表面张力均为 $γ$ ，并假设其为常数。忽略边缘效应、重力以及压强力的功；液体体积不变，且没有液体交换。移动足够缓慢，使力学平衡得以维持。对于界面的生成，系统获得的功写成 $δ W = γ d A$ ，其中 $A$ 为界面的总面积。

画出框架和横杆，标出 $x$ 、 $ℓ$ 以及外部拉力的方向。写出 $A (x)$ ，再写出 $d A$ 。
确定所需的外力，并计算 $x$ 从 $x_{A}$ 变到 $x_{B}$ 时肥皂膜获得的功。
取 $γ = 30 mN m^{- 1}$ 、 $ℓ = 5, 0 cm$ 和 $x_{B} - x_{A} = 2, 0 cm$ ，计算这个力和这个功。如果漏算一个面，会产生什么错误？
借助恒温器，肥皂膜保持恒温。仅知道 $γ$ 和面积的变化，是否足以确定 $Δ U$ 和 $Q$ ？

提示

每个面的面积为

ℓ x

。令功

F_{ext} d x

等于生成两个界面所需的功。对于最后一问，要区分获得的功与储存的能量。

详细解答

解答

问题 1。在肥皂膜所在平面内画出框架，可动横杆垂直于

x

方向，外部拉力指向

x

增大的方向。每个面的面积为

ℓ x

。由于

ℓ

恒定，总面积及其变化为

A = 2 ℓ x, d A = 2 ℓ d x .

两个界面是不同的，尽管在正视图中它们相互重叠。

问题 2。获得的功可以用两种方式写出：

δ W = F_{ext} d x = γ d A = 2 γ ℓ d x .

比较两式得 $F_{ext} = 2 γ ℓ$ 。肥皂膜的作用力与这一拉力相反。由于 $γ$ 和 $ℓ$ 均为常数，

W_{A \to B} = \int_{x_{A}}^{x_{B}} 2 γ ℓ d x = 2 γ ℓ [x]_{x_{A}}^{x_{B}} = 2 γ ℓ (x_{B} - x_{A}) > 0.

增大肥皂膜的面积需要输入功。

问题 3。用 SI 单位表示，

γ = 30 \times 1 0^{- 3} N m^{- 1}

、

ℓ = 5, 0 \times 1 0^{- 2} m

、

x_{B} - x_{A} = 2, 0 \times 1 0^{- 2} m

。于是

F_{ext} = 2 (30 \times 1 0^{- 3}) (5, 0 \times 1 0^{- 2}) = 3, 0 \times 1 0^{- 3} N, W_{A \to B} = (3, 0 \times 1 0^{- 3}) (2, 0 \times 1 0^{- 2}) = 6, 0 \times 1 0^{- 5} J = 60 μ J .

单位是自洽的： $γ ℓ$ 是力， $γ Δ A$ 是能量。漏算一个面会错误地把力和功都除以二。

问题 4。第一定律只给出

Δ U = Q + γ Δ A .

为了维持温度，恒温器可以提供或吸收热量。若没有肥皂膜内能的模型， $Δ U$ 和 $Q$ 都是未知的。因此，既不能自动地把 $γ Δ A$ 等同于内能的变化，也不能由等温推出 $Q = 0$ 。