热力学习题详解

拉伸弹性细丝

习题 12 · 课程 4 — 热力学第一定律

题目

一根自然长度为 $L_{0}$ 的细丝被缓慢地、无滞后地从 $L_{A}$ 拉伸到 $L_{B}$ ，其中 $L_{0} \leq L_{A} < L_{B}$ 。在所研究的范围内，其平衡张力满足

F = K (L - L_{0}),

其中 $K > 0$ 为常数劲度系数，与温度无关。在每一步中，外部拉力都与细丝的张力相平衡。采用如下内能模型：

U (T, L) = C (T - T_{⋆}) + \frac{1}{2} K (L - L_{0})^{2} + U_{⋆},

其中 $C$ 为恒定的总热容， $T_{⋆}, U_{⋆}$ 为固定的参考值。宏观动能和重力势能的变化均可忽略。

提示

使用

δ W = F_{ext} d L

，并对变力积分。然后利用

Δ U = Q + W

，与模型给出的内能差进行比较。

解答

问题 1。在示意图中，左端固定。右端受到向右的拉力，其位移为

d L

。细丝伸长时，它获得的功为正：

δ W = F_{ext} d L = K (L - L_{0}) d L .

力不是恒定的，因此必须计算

W_{A \to B} = \int_{L_{A}}^{L_{B}} K (L - L_{0}) d L = [\frac{K}{2} (L - L_{0})^{2}]_{L_{A}}^{L_{B}} = \frac{K}{2} [(L_{B} - L_{0})^{2} - (L_{A} - L_{0})^{2}] > 0.

劲度系数的单位为 $N m^{- 1}$ ，因此 $K (L - L_{0})^{2}$ 的单位为 $N m$ ，即焦耳。

问题 2。由于

T_{B} = T_{A}

，热学项不变。参考常数也相互抵消，故

Δ U = C (T_{B} - T_{A}) + \frac{K}{2} [(L_{B} - L_{0})^{2} - (L_{A} - L_{0})^{2}] = W_{A \to B} .

于是由第一定律得 $Q_{A \to B} = Δ U - W_{A \to B} = 0$ 。在这一理想模型中，细丝获得的功以弹性能的形式储存起来。温度保持不变，但内能增加：因此等温并不要求 $Δ U = 0$ 。这里 $Q = 0$ 的结果取决于所采用的模型，不能推广到所有材料。

问题 3。交换积分上下限会改变积分的符号：

W_{B \to A} = \int_{L_{B}}^{L_{A}} K (L - L_{0}) d L = [\frac{K}{2} (L - L_{0})^{2}]_{L_{B}}^{L_{A}} = - W_{A \to B} .

因此，整个往返过程中细丝获得的功为零：细丝把储存的功如数归还。在这里，所施加的力的规律使功等于弹性能的变化，而弹性能是 $L$ 的函数。这是这一无滞后模型及这一类过程的性质，而不是功传递的普遍性质。