热力学习题详解

平动、转动与热运动

习题 14 · 课程 4 — 热力学第一定律

柯尼希定理
转动
动能
内能
摩擦

题目

一个由 $N$ 个质量为 $m_{i}$ 的粒子组成的系统，总质量为 $M$ ，质心位置为 $R$ ，质心速度为 $V$ 。记 $ρ_{i} = r_{i} - R$ ，并把速度分解为

v_{i} = V + ω \times ρ_{i} + u_{i}^{'} .

整体角速度 $ω$ 的选取使剩余运动不携带任何整体角动量：

i \sum m_{i} u_{i}^{'} = 0, i \sum m_{i} ρ_{i} \times u_{i}^{'} = 0 .

承认恒等式 $\sum_{i} m_{i} ∣ ω \times ρ_{i} ∣^{2} = ω \cdot I_{CM} ω$ ，其中 $I_{CM}$ 是相对于质心的惯量张量。

展开 $E_{kin} = \frac{1}{2} \sum_{i} m_{i} v_{i}^{2}$ ，证明三个交叉项均为零。由此得到平动、整体转动和剩余运动之间的分解。
若约定把整体平动和整体转动都算作宏观运动，哪一部分动能计入内能？是否只要在质心参考系中考察，就只剩下热运动？
一个质量为 $M$ 、半径为 $R$ 的均匀圆盘绕固定轴转动，初始角速度为 $ω_{0}$ ，其转动惯量为 $I = M R^{2} /2$ 。制动器使其停止转动。圆盘与制动器组成的系统是绝热的；其静止的支架不提供任何功。耗散的全部能量都留在这个系统中，系统的总热容 $C$ 恒定。求系统的内能变化及其温升。
取 $M = 2, 0 kg$ 、 $R = 0, 10 m$ 、 $ω_{0} = 100 rad s^{- 1}$ 和 $C = 500 J K^{- 1}$ ，计算转化的能量和温升。这部分能量是否以热的形式穿过了系统的边界？

提示

利用

\sum_{i} m_{i} ρ_{i} = 0

以及混合积恒等式

(ω \times ρ_{i}) \cdot u_{i}^{'} = ω \cdot (ρ_{i} \times u_{i}^{'})

。制动过程中，

U + E_{kin}^{macro}

守恒。

详细解答

解答

问题 1。由质心的定义得

\sum_{i} m_{i} r_{i} = M R

。因此

i \sum m_{i} ρ_{i} = i \sum m_{i} r_{i} - M R = 0 .

展开每个平方项，得到

E_{kin} = \frac{1}{2} M V^{2} + \frac{1}{2} i \sum m_{i} ∣ ω \times ρ_{i} ∣^{2} + \frac{1}{2} i \sum m_{i} u_{i}^{'}^{2} + V \cdot (ω \times i \sum m_{i} ρ_{i}) + V \cdot i \sum m_{i} u_{i}^{'} + i \sum m_{i} (ω \times ρ_{i}) \cdot u_{i}^{'} .

第一个交叉项由质心的定义而为零。第二个交叉项为零，因为剩余动量为零。对于第三项，混合积给出

i \sum m_{i} (ω \times ρ_{i}) \cdot u_{i}^{'} = ω \cdot i \sum m_{i} (ρ_{i} \times u_{i}^{'}) = 0.

利用题中给出的惯量张量恒等式，剩下

E_{kin} = \frac{1}{2} M V^{2} + \frac{1}{2} ω \cdot I_{CM} ω + \frac{1}{2} i \sum m_{i} u_{i}^{'}^{2}

问题 2。在这一约定下，内能中的动能部分是最后一项 $\frac{1}{2} \sum_{i} m_{i} u_{i}^{'}^{2}$ 。内能还包括内部势能以及可能存在的其他内部自由度。在质心参考系中考察，可以消去平动项，但整体转动项依然存在。因此，绕固定轴转动的圆盘即使质心静止，也具有宏观动能。

问题 3。穿过圆盘与制动器系统边界的热和功均为零。支架的作用力可以传递角动量，但其作用点静止不动，因而不传递功。忽略其他一切宏观能量的变化，能量守恒给出

Δ U + Δ E_{rotation} = 0.

圆盘最终停止，故 $Δ E_{rotation} = 0 - \frac{1}{2} I ω_{0}^{2}$ 。因此

Δ U = \frac{1}{2} I ω_{0}^{2} = \frac{1}{4} M R^{2} ω_{0}^{2} > 0.

一旦达到内部热平衡，恒定热容模型给出 $Δ U = C (T_{f} - T_{i})$ ，即

T_{f} - T_{i} = \frac{M R ^{2} ω _{0}^{2}}{4 C} .

摩擦在系统内部把有序运动的能量转化为内能。

问题 4。转动惯量为

I = 2, 0 (0, 10)^{2} /2 = 0, 010 kg m^{2}

。于是

Δ U = \frac{1}{2} (0, 010) (100)^{2} = 50 J, T_{f} - T_{i} = \frac{50}{500} = 0, 10 K .

尽管 $Q = 0$ ，系统的温度仍然升高：这部分能量并没有以热的形式穿过系统边界，它最初以转动动能的形式存在于系统之中。