热力学习题详解

组装一个均匀的引力球

习题 15 · 课程 4 — 热力学第一定律

题目

半径为 $R$ 的球内均匀分布着质量 $M$ ，其密度为 $ρ_{m}$ 。我们要计算它的引力势能 $U_{grav}$ ，并取各质量元相距无穷远时的能量为零。

设想保持相同密度，把球一层一层地以同心球壳组装起来。当半径达到 $r$ 时，已组装的质量为 $M (r)$ ，此时从无穷远处移来一个质量为 $d M$ 的球壳。承认内部质量在其表面产生的势为 $- GM (r) / r$ 。计算只涉及引力能；并不假设球处于力学平衡。

画出已组装的球以及在 $r$ 与 $r + d r$ 之间新加的球壳。用 $M, R, r$ 和 $d r$ 表示 $ρ_{m}$ 、 $M (r)$ 和 $d M$ 。
写出球壳与内部球体之间的相互作用能，再积分得到 $U_{grav}$ 。结果是否需要除以二？
球内含有 $N$ 个质量为 $m$ 的组分， $M = N m$ 。在密度 $ρ_{m}$ 固定时，把 $R$ 表示为 $N$ 的函数，再确定 $U_{grav}$ 和 $U_{grav} / N$ 对 $N$ 的依赖关系。
在相同密度下，把含 $2 N$ 个组分的球的能量，与相距无穷远、各含 $N$ 个组分的两个球的能量之和进行比较。讨论二者之差的符号以及广延性。

提示

球壳的体积为

4 π r^{2} d r

。它与已就位质量的相互作用能为

d U_{grav} = - GM (r) d M / r

。在计数过程中，每一对质量元都在其外侧部分被加入时计入。

解答

问题 1。示意图画出一个半径为

r

、质量为

M (r)

的球，外面包着一层厚度为

d r

的球壳，并标出最终半径

R

。密度均匀，故

ρ_{m} = \frac{M}{4 π R ^{3} /3} = \frac{3 M}{4 π R ^{3}}, M (r) = ρ_{m} \frac{4 π r ^{3}}{3} = M \frac{r ^{3}}{R ^{3}} .

因此加入的质量为

d M = 4 π ρ_{m} r^{2} d r = \frac{3 M}{R ^{3}} r^{2} d r .

问题 2。引力势是单位质量的能量。把它乘以移入的质量，得到

d U_{grav} = - \frac{GM ( r )}{r} d M = - \frac{G}{r} \frac{M r ^{3}}{R ^{3}} \frac{3 M r ^{2}}{R ^{3}} d r = - \frac{3 G M ^{2}}{R ^{6}} r^{4} d r .

对所有组装半径积分：

U_{grav} = - \frac{3 G M ^{2}}{R ^{6}} \int_{0}^{R} r^{4} d r = - \frac{3 G M ^{2}}{R ^{6}} [\frac{r ^{5}}{5}]_{0}^{R} = - \frac{3 G M ^{2}}{R ^{6}} \frac{R ^{5}}{5} = - \frac{3 G M ^{2}}{5 R} .

新加球壳与内部各层之间的每一份相互作用只计算了一次，因此不需要再乘因子 $1/2$ 。一个无穷薄球壳的自能是 $(d M)^{2}$ 量级的，在连续极限下对积分没有贡献。负号反映了吸引作用：要把各质量分开，必须提供能量。最后， $G M^{2} / R$ 的单位确实是焦耳。

问题 3。在密度固定时，

\frac{4 π R ^{3}}{3} = \frac{N m}{ρ _{m}}, R = (\frac{3 m}{4 π ρ _{m}})^{1/3} N^{1/3} .

把 $M$ 和 $R$ 代入能量表达式，

U_{grav} = - \frac{3}{5} G m^{2} (\frac{4 π ρ _{m}}{3 m})^{1/3} \frac{N ^{2}}{N ^{1/3}} = - a_{g} N^{5/3},

其中 $a_{g} = \frac{3}{5} G m^{2} (4 π ρ_{m} / (3 m))^{1/3} > 0$ 与 $N$ 无关。因此每个组分的能量为 $U_{grav} / N = - a_{g} N^{2/3}$ 。其绝对值随系统尺寸增大而增大：它并不保持为强度量。

问题 4。大球的能量为

U_{grav} (2 N) = - a_{g} 2^{5/3} N^{5/3}

。对于相距无穷远的两个球，相互作用为零，能量之和为

2 U_{grav} (N) = - 2 a_{g} N^{5/3}

。二者之差为

U_{grav} (2 N) - 2 U_{grav} (N) = - a_{g} (2^{5/3} - 2) N^{5/3} < 0.

大球的引力束缚更强。这一状态比较本身并不描述两球合并的动力学过程。它表明 $U_{grav} (2 N) \neq = 2 U_{grav} (N)$ ：引力能不是广延的。能量守恒并未受到质疑；广延性是一个额外的假设，它对这种长程相互作用不成立。