热力学习题详解

带电球与广延性问题

习题 16 · 课程 4 — 热力学第一定律

题目

总电荷 $Q > 0$ 均匀分布在真空中一个半径为 $R$ 的球的体积内。某些约束维持着这一分布；这里只计算其静电能 $U_{el}$ 。这不是导体球：导体球中的电荷在平衡时会分布在表面上。

从无穷远处逐层移来带电球壳，以组装这一电荷分布。对于半径为 $r$ 的球内已组装的电荷 $Q (r)$ ，其表面上的电势为 $Φ (r) = k_{e} Q (r) / r$ ，其中 $k_{e} = 1/ (4 π ε_{0})$ 。各电荷元相距无穷远时的能量取为零。

画出组装过程中的某一步。用 $Q, R, r$ 和 $d r$ 表示 $Q (r)$ 和 $d Q$ ，然后计算 $U_{el}$ 。
在由 $N$ 个电荷均为 $q_{0}$ 的组分构成的连续模型中，令 $Q = N q_{0}$ 。在粒子数密度固定时，写出 $R = r_{0} N^{1/3}$ ，并确定能量对 $N$ 的依赖关系。将其符号和齐次次数与引力情形进行比较。
在总电荷固定时，计算球从 $R_{A}$ 膨胀到 $R_{B} > R_{A}$ 时的能量变化。若这一膨胀是准静态且无耗散的，系统从外界获得的功的符号是什么？这个功的表达式仅代表电学部分的贡献。
对于符号不同的电荷，微观相互作用能写成 $U_{el} = k_{e} i < j \sum \frac{q _{i} q _{j}}{r _{ij}} .$
为什么对只带一种符号电荷的球得到的规律，并不能证明所有普通物质都是非广延的？总电荷为零是否足以使这个和为零？

提示

使用

d U_{el} = Φ (r) d Q

。逐层组装的构造对每一对只计数一次。对于最后一问，考察一对相距

a

的简单电荷

+ q_{0}

和

- q_{0}

。

解答

问题 1。示意图画出半径为

r

的已带电球体，以及移入的厚度为

d r

的球壳。恒定的体电荷密度为

ρ_{q} = 3 Q / (4 π R^{3})

。因此

Q (r) = ρ_{q} \frac{4 π r ^{3}}{3} = Q \frac{r ^{3}}{R ^{3}}, d Q = 4 π ρ_{q} r^{2} d r = \frac{3 Q}{R ^{3}} r^{2} d r .

加入球壳时的能量变化为

d U_{el} = \frac{k _{e} Q ( r )}{r} d Q = \frac{3 k _{e} Q ^{2}}{R ^{6}} r^{4} d r .

把从球心到表面的各份贡献相加，

U_{el} = \frac{3 k _{e} Q ^{2}}{R ^{6}} \int_{0}^{R} r^{4} d r = \frac{3 k _{e} Q ^{2}}{R ^{6}} [\frac{r ^{5}}{5}]_{0}^{R} = \frac{3 k _{e} Q ^{2}}{5 R} = \frac{3 Q ^{2}}{20 π ε _{0} R} .

每一对壳层之间的相互作用只计算一次；不需要额外的因子 $1/2$ 。结果为正：组装电荷必须克服斥力。乘积 $k_{e} Q^{2} / R$ 的单位是焦耳。

问题 2。在粒子数密度

ρ_{N} = N / (4 π R^{3} /3)

固定时，有

r_{0} = (3/ (4 π ρ_{N}))^{1/3}

。代入得

U_{el} = \frac{3 k _{e} ( N q _{0} ) ^{2}}{5 r _{0} N ^{1/3}} = \frac{3 k _{e} q _{0}^{2}}{5 r _{0}} N^{5/3} .

这一能量是 $5/3$ 次的，因此不是广延的；每个粒子的能量按 $N^{2/3}$ 增长。其次数与引力球相同，因为两种势都按 $1/ r$ 衰减；符号则相反，因为同号电荷相互排斥。连续模型描述的是集体贡献，不计入点电荷的自能。

问题 3。在

Q

固定时，能量差为

Δ U_{el} = \frac{3 k _{e} Q ^{2}}{5} (\frac{1}{R _{B}} - \frac{1}{R _{A}}) < 0.

在准静态且无耗散的过程中，系统获得的功的电学部分等于势能的变化。也可以通过积分来验证：

W_{ext} = \int_{R_{A}}^{R_{B}} - \frac{3 k _{e} Q ^{2}}{5 R ^{2}} d R = [\frac{3 k _{e} Q ^{2}}{5 R}]_{R_{A}}^{R_{B}} = Δ U_{el} < 0.

外部作用者拉住相互排斥的电荷，在膨胀过程中获得功。这一电学能量平衡不包括维持装置中的任何其他能量储存。

问题 4。对于同号电荷，所有乘积

q_{i} q_{j}

均为正：它们的贡献相互叠加。相反，在电中性物质中，存在吸引和排斥两类贡献，它们在远距离上可以相互抵消。因此，电中性以及（在有此效应的介质中）屏蔽作用，改变了基于同号项相加的推理。然而，总体电中性并不意味着

U_{el} = 0

。两个相距

a

的电荷

+ q_{0}

和

- q_{0}

总电荷为零，但其相互作用能为

- k_{e} q_{0}^{2} / a

，并不为零。要建立标度律，必须了解电荷的排布及其关联。因此，均匀带电球的计算既不能证明所有物质都是非广延的，也不能证明中性系统都是广延的。