热力学习题详解

相同的内能变化，三种传递方式

习题 7 · 课程 4 — 热力学第一定律

工作版本——此习题仍在审核中。

题目

一种液体、其量热器以及一个浸没其中的小电阻组成一个宏观静止的封闭系统。容器是刚性的，并假设系统的总热容恒定：

C=2{,}00\ \mathrm{kJ\,K^{-1}}.

要使系统从温度为 $T_A=20{,}0\,^\circ\mathrm{C}$ 的平衡态 $A$ 变到温度为 $T_B=25{,}0\,^\circ\mathrm{C}$ 的平衡态 $B$ 。已知

U(B)-U(A)=C(T_B-T_A).

宏观动能和宏观势能的变化均为零。忽略向外界的一切损失。

从同一初态 $A$ 出发，彼此独立地实施以下三个方案：

方案 1. 使系统与一个高温热源接触，但不向系统提供任何功。
方案 2. 容器壁绝热。一个质量为 $m$ 的重物从高度 $h=5{,}00$ m 落下，带动桨叶搅拌液体。最后桨叶和液体均静止，重物损失的全部机械能都传递给系统。取 $g=9{,}81\ \mathrm{m\,s^{-2}}$ 。
方案 3. 系统获得热量 $Q_3=4{,}00$ kJ，其余能量通过电路供给电阻。系统获得的电功率恒定，为 $\mathcal P=300$ W。

提示

采用银行家符号约定，应用

\Delta U=Q+W

。对于桨叶，系统获得的功等于重物势能的减少量

mgh

。通过导线穿过系统边界的电能计作电功。

解答

问题 1。温差为

T_B-T_A=5{,}0

K。因此

\Delta U=C(T_B-T_A) =2{,}00\times5{,}0 =10{,}0\ \mathrm{kJ}.

该数值只取决于两个平衡态 $A$ 和 $B$ 。

问题 2。在方案 1 中，系统没有获得功： $W_1=0$ 。由第一定律得

Q_1=\Delta U=10{,}0\ \mathrm{kJ}.

热量为正，因为能量进入系统。

在方案 2 中，容器壁绝热，故 $Q_2=0$ 。全部内能变化都来自桨叶的机械功：

W_2=\Delta U=10{,}0\ \mathrm{kJ}.

又因 $W_2=mgh$ ，所以

m=\frac{W_2}{gh} =\frac{10{,}0\times10^3}{9{,}81\times5{,}00} \simeq 204\ \mathrm{kg}.

这个较大的数量级提醒我们，即使温度仅小幅升高，也已经对应相当大的机械能。

问题 3。第一定律要求

W_3=\Delta U-Q_3=10{,}0-4{,}00=6{,}00\ \mathrm{kJ}.

该功为正：电源向系统提供能量。利用 $W_3=\mathcal P\,\Delta t$ ，有

\Delta t=\frac{W_3}{\mathcal P} =\frac{6{,}00\times10^3}{300} =20{,}0\ \mathrm{s}.

问题 4。三条路径分别给出

(Q_1,W_1)=(10{,}0,0)\ \mathrm{kJ}, \qquad (Q_2,W_2)=(0,10{,}0)\ \mathrm{kJ},

以及

(Q_3,W_3)=(4{,}00,6{,}00)\ \mathrm{kJ}.

在所有情况下， $Q+W$ 均等于 $10{,}0$ kJ，并产生相同的变化 $\Delta U$ 。内能是状态函数，而热和功描述的是过程中发生的能量传递。在终态 $B$ 中，系统具有内能，但并不含有“热”或“功”。