沿路径积分微分形式

问题 1。 $f(x,y) = xy$ 符合要求，因为 $\partial f/\partial x = y$ 且 $\partial f/\partial y = x$。

问题 2。 对于参数化为 $t\mapsto\bigl(x(t),y(t)\bigr)$ 的曲线，有

$$\int_\gamma\omega_1 = \int \left[y(t)x'(t)+x(t)y'(t)\right],\mathrm{d}t.$$

路径 $\gamma_1$ 由两条线段组成。在第一段上，$x(t)=t$、$y(t)=0$， $t\in[0,1]$；因此 $\mathrm{d}x=\mathrm{d}t$ 且 $\mathrm{d}y=0$。 在第二段上，$x(t)=1$、$y(t)=t$，同样有 $t\in[0,1]$；因此 $\mathrm{d}x=0$ 且 $\mathrm{d}y=\mathrm{d}t$。所以

$$\begin{aligned} I_1 = \int_{\gamma_1}\omega_1 &= \int_0^1\left(0\times 1+t\times 0\right)\,\mathrm{d}t + \int_0^1\left(t\times 0+1\times 1\right)\,\mathrm{d}t \\ &= 0+\int_0^1\mathrm{d}t = 1. \end{aligned}$$

对于 $\gamma_2$，第一段参数化为 $x(t)=0$、$y(t)=t$，第二段参数化为 $x(t)=t$、$y(t)=1$，两段均有 $t\in[0,1]$。因此

$$\begin{aligned} I_2 = \int_{\gamma_2}\omega_1 &= \int_0^1\left(t\times 0+0\times 1\right)\,\mathrm{d}t + \int_0^1\left(1\times 1+t\times 0\right)\,\mathrm{d}t \\ &= 0+\int_0^1\mathrm{d}t = 1. \end{aligned}$$

两个数值相同。其实不计算也可以预见这一点：由于 $\omega_1=\mathrm{d}f$ 且 $f(x,y)=xy$，其积分只依赖于端点，

$$\int_\gamma\omega_1=f(M)-f(O)=f(1,1)-f(0,0)=1.$$

问题 3。 写成 $\omega_2=A(x,y)\,\mathrm{d}x+B(x,y)\,\mathrm{d}y$。 这里 $A(x,y)=y$、$B(x,y)=0$。若该形式恰当，施瓦茨判据应给出

$$\frac{\partial A}{\partial y}=\frac{\partial B}{\partial x}.$$

然而 $\partial A/\partial y=1$，而 $\partial B/\partial x=0$。 两个交叉偏导数不同，因此 $\omega_2$ 不是恰当微分形式。它的积分可能依赖于 $O$ 与 $M$ 之间所取的路径，下面的计算正好验证了这一点。

问题 4。 因为 $\omega_2=y\,\mathrm{d}x$，只有在 $y$ 非零时 $x$ 的变化才会对积分有贡献。沿用前面的参数化，在 $\gamma_1$ 上有

$$\begin{aligned} J_1 =\int_{\gamma_1}\omega_2 &=\int_0^1 0\times 1\,\mathrm{d}t +\int_0^1 t\times 0\,\mathrm{d}t \\ &=0. \end{aligned}$$

在 $\gamma_2$ 上，第一段满足 $x(t)=0$，故 $\mathrm{d}x=0$； 第二段满足 $x(t)=t$、$y(t)=1$ 且 $\mathrm{d}x=\mathrm{d}t$。于是

$$\begin{aligned} J_2 =\int_{\gamma_2}\omega_2 &=\int_0^1 t\times 0\,\mathrm{d}t +\int_0^1 1\times 1\,\mathrm{d}t \\ &=1. \end{aligned}$$

最后，对角线段 $\gamma_3$ 可显式参数化为

$$x(t)=t,\qquad y(t)=t,\qquad t\in[0,1],$$

从而 $\mathrm{d}x=\mathrm{d}t$、$\mathrm{d}y=\mathrm{d}t$。故

$$J_3 =\int_{\gamma_3}\omega_2 =\int_0^1 y(t)x'(t)\,\mathrm{d}t =\int_0^1 t\,\mathrm{d}t =\frac12.$$

三条路径的端点相同，却给出三个不同的值：$J_1=0$、$J_2=1$ 和 $J_3=1/2$。这正是非恰当微分形式所特有的路径依赖性。