热力学习题详解

两个物块之间的热机：可回收的最大功

习题 24 · 课程 6 — 热力学第二定律

  • 可逆热机
  • 可变温度
  • 卡诺效率
  • 最大功

题目

两个不可形变的物块A和B具有恒定总热容 CA>0C_A>0 和 CB>0C_B>0，初始温度为 TA,0>TB,0>0T_{A,0}>T_{B,0}>0。每个物块内部温度始终均匀，但可随热交换改变。不发生相变。

在两个物块之间运行一台热机，物块不直接接触。热机从A吸热，将其中一部分传给B，并向外界输出功。“物块与热机”整体不与外界交换热量。每个循环后热机回到同一状态，既不积累能量也不积累熵。求利用初始温差可回收的最大功。

为此研究一系列无穷小可逆循环的极限。每一循环中，瞬时温度 TAT_A 和 TBT_B 的变化无穷小。采用接受能量取正的约定。记 δQA\delta Q_A 和 δQB\delta Q_B 分别为热机从A、B吸收的热量，δW\delta W 为热机接受的功。作为热机运行时，δQA>0\delta Q_A>0、δQB<0\delta Q_B<0 且 δW<0\delta W<0。因此物块吸收的热量分别为 −δQA-\delta Q_A 和 −δQB-\delta Q_B。

  1. 列出一个无穷小循环中物块和热机的能量平衡。利用卡诺效率，以 δQA,TA,TB\delta Q_A,T_A,T_B 表示 δQB\delta Q_B。证明A降温而B升温。温差和效率如何随循环变化？何时不再能输出功？
  2. 建立 dTA/TA\mathrm dT_A/T_A 与 dTB/TB\mathrm dT_B/T_B 之间的关系，从初态积分，求最终共同温度 TrT_r。为何不能把两个物块视为温度恒为 TA,0T_{A,0} 和 TB,0T_{B,0} 的热库？
  3. 计算这一可逆运行中接受的总功 WrevW_{\mathrm{rev}}，再求其绝对值 ∣Wrev∣|W_{\mathrm{rev}}|，即外界可回收的最大功。当 CA=CB=CC_A=C_B=C 时，简化 TrT_r 和 WrevW_{\mathrm{rev}}，并将 ∣Wrev∣|W_{\mathrm{rev}}| 写成明显为正的形式。
  4. 数值计算：两个物块均为铁，每块质量 m=1,0 kgm=1{,}0\ \mathrm{kg}，A的初温为 60 ∘C60\,{}^\circ\mathrm C，B为 20 ∘C20\,{}^\circ\mathrm C。取铁的比热容为常数 c=450 J kg−1 K−1c=450\ \mathrm{J\,kg^{-1}\,K^{-1}}。计算可回收的最大功 ∣Wrev∣|W_{\mathrm{rev}}|。

提示
每个无穷小循环的效率为 1−TB/TA1-T_B/T_A，其中使用当时的温度，并可写为 ∣δW∣/δQA|\delta W|/\delta Q_A。整体平衡中，对“物块与热机”应用 ΔU=Q+W\Delta U=Q+W，其中 Q=0Q=0 且 W<0W<0。

详细解答

解答
第1问。 物块不可形变，不接受功。因此其能量变化等于吸收的热量：

CA dTA=−δQA,CB dTB=−δQB.C_A\,\mathrm dT_A=-\delta Q_A,\qquad C_B\,\mathrm dT_B=-\delta Q_B.

热机回到初态。其能量平衡给出 0=δQA+δQB+δW0=\delta Q_A+\delta Q_B+\delta W，即

δW=−(δQA+δQB)<0.\delta W=-(\delta Q_A+\delta Q_B)<0.

效率是回收的功与从A吸收的热量之比。由于 δW<0\delta W<0，有 ∣δW∣=−δW|\delta W|=-\delta W，故

η=∣δW∣δQA=1+δQBδQA=1−TBTA⟹δQB=−TBTAδQA.\eta=\frac{|\delta W|}{\delta Q_A} =1+\frac{\delta Q_B}{\delta Q_A}=1-\frac{T_B}{T_A} \quad\Longrightarrow\quad \delta Q_B=-\frac{T_B}{T_A}\delta Q_A.

物块A吸收 −δQA<0-\delta Q_A<0，B吸收 −δQB>0-\delta Q_B>0。热容为正，因此 dTA<0\mathrm dT_A<0 且 dTB>0\mathrm dT_B>0，温差减小：

d(TA−TB)=−δQA(1CA+TBCBTA)<0.\mathrm d(T_A-T_B) =-\delta Q_A\left(\frac1{C_A}+\frac{T_B}{C_BT_A}\right)<0.

比值 TB/TAT_B/T_A 的分子增大、分母减小，因此比值上升。效率 1−TB/TA1-T_B/T_A 逐渐下降。当 TA=TBT_A=T_B 时，效率为零；温差已耗尽，在两物块之间运行的任何循环热机均不能再输出功。

第2问。 物块的能量平衡给出 δQA=−CA dTA\delta Q_A=-C_A\,\mathrm dT_A 和 δQB=−CB dTB\delta Q_B=-C_B\,\mathrm dT_B。代入上面的关系：

−CB dTB=−TBTA(−CA dTA)=TBTACA dTA.-C_B\,\mathrm dT_B =-\frac{T_B}{T_A}(-C_A\,\mathrm dT_A) =\frac{T_B}{T_A}C_A\,\mathrm dT_A.

改变符号，再除以 TBT_B，

CB dTB=−TBTACA dTA,CAdTATA+CBdTBTB=0.C_B\,\mathrm dT_B=-\frac{T_B}{T_A}C_A\,\mathrm dT_A, \qquad C_A\frac{\mathrm dT_A}{T_A} +C_B\frac{\mathrm dT_B}{T_B}=0.

从初始温度积分到任意多个循环后达到的温度：

CA∫TA,0TAdTT+CB∫TB,0TBdTT=0.C_A\int_{T_{A,0}}^{T_A}\frac{\mathrm dT}{T} +C_B\int_{T_{B,0}}^{T_B}\frac{\mathrm dT}{T}=0.

1/T1/T 的原函数为 ln⁡T\ln T，代入上下限得

CAln⁡TATA,0+CBln⁡TBTB,0=0.C_A\ln\frac{T_A}{T_{A,0}}+C_B\ln\frac{T_B}{T_{B,0}}=0.

这表示可逆运行中总熵守恒。停止时 TA=TB=TrT_A=T_B=T_r。写出 ln⁡(Tr/TB,0)=ln⁡(Tr/TA,0)+ln⁡(TA,0/TB,0)\ln(T_r/T_{B,0})=\ln(T_r/T_{A,0})+\ln(T_{A,0}/T_{B,0})，

(CA+CB)ln⁡TrTA,0=CBln⁡TB,0TA,0.(C_A+C_B)\ln\frac{T_r}{T_{A,0}} =C_B\ln\frac{T_{B,0}}{T_{A,0}}.

除以 CA+CBC_A+C_B 再取指数，得

Tr=TA,0(TB,0TA,0)CB/(CA+CB).\boxed{T_r=T_{A,0} \left(\frac{T_{B,0}}{T_{A,0}}\right)^{C_B/(C_A+C_B)}.}

物块的热容有限，每次热交换均依照 dT=δQblock/C\mathrm dT=\delta Q_{\mathrm{block}}/C 改变温度，其中 δQblock\delta Q_{\mathrm{block}} 是所考察物块吸收的热量。因此初始效率不能用于整个实验。温度恒定的近似仅在每个无穷小循环内成立，且每次须使用新的温度。

第3问。 “物块与热机”整体绝热，但向外界输出功，因此并不孤立。热机不储存能量，第一定律给出

CA(Tr−TA,0)+CB(Tr−TB,0)=Wrev.C_A(T_r-T_{A,0})+C_B(T_r-T_{B,0})=W_{\mathrm{rev}}.

整体接受的功就是热机接受的功。合并各项，

Wrev=(CA+CB)Tr−CATA,0−CBTB,0<0.W_{\mathrm{rev}}=(C_A+C_B)T_r-C_AT_{A,0}-C_BT_{B,0}<0.

外界回收的功为其绝对值：

∣Wrev∣=−Wrev=CATA,0+CBTB,0−(CA+CB)Tr.\boxed{|W_{\mathrm{rev}}|=-W_{\mathrm{rev}} =C_AT_{A,0}+C_BT_{B,0}-(C_A+C_B)T_r.}

每个乘积 CTCT 均具有能量单位焦耳。为说明为何可逆过程给出最大值，考虑一台产生熵并最终达到共同温度 T∗T_* 的热机。物块的熵平衡要求

CAln⁡T∗TA,0+CBln⁡T∗TB,0≥0.C_A\ln\frac{T_*}{T_{A,0}}+C_B\ln\frac{T_*}{T_{B,0}}\geq0.

减去等于零的可逆熵平衡，剩下 (CA+CB)ln⁡(T∗/Tr)≥0(C_A+C_B)\ln(T_*/T_r)\geq0，因此 T∗≥TrT_*\geq T_r。这种热机运行中接受的功为 W∗=(CA+CB)T∗−CATA,0−CBTB,0W_*=(C_A+C_B)T_*-C_AT_{A,0}-C_BT_{B,0}，所以

W∗−Wrev=(CA+CB)(T∗−Tr)≥0.W_*-W_{\mathrm{rev}}=(C_A+C_B)(T_*-T_r)\geq0.

因此 Wrev≤W∗≤0W_{\mathrm{rev}}\leq W_*\leq0：可逆情形下接受的功最负，其绝对值最大，即 ∣W∗∣≤∣Wrev∣|W_*|\leq|W_{\mathrm{rev}}|。

当 CA=CB=CC_A=C_B=C 时，指数为 1/21/2，故

Tr=TA,0TB,0TA,0=TA,0TB,0,Wrev=−C(TA,0−TB,0)2<0,∣Wrev∣=C(TA,0+TB,0−2TA,0TB,0)=C(TA,0−TB,0)2>0.T_r=T_{A,0}\sqrt{\frac{T_{B,0}}{T_{A,0}}} =\sqrt{T_{A,0}T_{B,0}}, W_{\mathrm{rev}}=-C\left(\sqrt{T_{A,0}}-\sqrt{T_{B,0}}\right)^2<0, |W_{\mathrm{rev}}|=C\left(T_{A,0}+T_{B,0} -2\sqrt{T_{A,0}T_{B,0}}\right) =C\left(\sqrt{T_{A,0}}-\sqrt{T_{B,0}}\right)^2>0.

这里使用恒等式 a2+b2−2ab=(a−b)2a^2+b^2-2ab=(a-b)^2。初始温度相等时，功为零。

第4问。 给定的是比热容，因此每个物块的总热容为

C=mc=1,0×450=450 J K−1.C=mc=1{,}0\times450=450\ \mathrm{J\,K^{-1}}.

根号内的温度必须以开尔文表示：

TA,0=60+273,15=333,15 K,TB,0=20+273,15=293,15 K.T_{A,0}=60+273{,}15=333{,}15\ \mathrm K,\qquad T_{B,0}=20+273{,}15=293{,}15\ \mathrm K.

代入第3问结果，

∣Wrev∣=450(333,15−293,15)2≃575 J=0,575 kJ.|W_{\mathrm{rev}}| =450\left(\sqrt{333{,}15}-\sqrt{293{,}15}\right)^2 \simeq575\ \mathrm J=0{,}575\ \mathrm{kJ}.

所以可回收的最大功约为 0,58 kJ0{,}58\ \mathrm{kJ}。按接受能量取正的约定，热机接受的功为 Wrev≃−575 JW_{\mathrm{rev}}\simeq-575\ \mathrm J；负号表示热机把该能量输出到外界。