热力学习题详解

用混合法测定金属的比热容

习题 4 · 课程 2 — 热力学与量热学的历史

量热学
混合法
比热容
量热器
水当量

题目

仿照约瑟夫·布莱克在十八世纪已采用的方法，用混合法测量未知金属的比热容 $c_m$ 。把质量 $m=0{,}150\,\text{kg}$ 的金属样品加热到 $T_m=95\,^\circ\text{C}$ ，再迅速放入装有 $m_e=0{,}250\,\text{kg}$ 水的量热器中。水的 $c_e=4{,}18\times10^3\,\text{J}\!\cdot\!\text{kg}^{-1}\!\cdot\!\text{K}^{-1}$ ，初温为 $T_e=18\,^\circ\text{C}$ ，测得平衡温度 $T_{eq}=22\,^\circ\text{C}$ 。先忽略容器、搅拌器和温度计的热容量。

写出金属与水组成的孤立系统的能量守恒方程，以 $c_m$ 为唯一未知量。
推导并计算 $c_m$ 。它大致对应哪种常见金属？参考值的单位均为 $\text{J}\!\cdot\!\text{kg}^{-1}\!\cdot\!\text{K}^{-1}$ ：铝 $9{,}0\times10^2$ 、铁 $4{,}5\times10^2$ 、铜 $3{,}9\times10^2$ 、铅 $1{,}3\times10^2$ 。
容器实际也会吸热。用水当量 $\mu=1{,}5\times10^{-2}\,\text{kg}$ 表示这一作用，即量热器相当于额外的水质量 $\mu$ 。重新计算 $c_m$ 并说明修正方向。
为什么实验中必须迅速放入样品，并使量热器与周围空气良好隔热？

提示

金属放出

Q_m=mc_m(T_m-T_{eq})

，由水以及第3问中的量热器全部吸收：

Q_m=(m_e+\mu)c_e(T_{eq}-T_e)

。

详细解答

解答

1. 对孤立系统，

mc_m(T_m-T_{eq})=m_ec_e(T_{eq}-T_e).

2. 因此

c_m=\frac{m_ec_e(T_{eq}-T_e)}{m(T_m-T_{eq})} =\frac{0{,}250\times4{,}18\times10^3\times(22-18)}{0{,}150\times(95-22)} \approx3{,}82\times10^2\,\text{J}\!\cdot\!\text{kg}^{-1}\!\cdot\!\text{K}^{-1}.

该值非常接近铜的比热容。

3. 计入水当量后，

c_m=\frac{(m_e+\mu)c_e(T_{eq}-T_e)}{m(T_m-T_{eq})} =\frac{(0{,}250+0{,}015)\times4{,}18\times10^3\times4}{0{,}150\times73} \approx4{,}05\times10^2\,\text{J}\!\cdot\!\text{kg}^{-1}\!\cdot\!\text{K}^{-1}.

修正使 $c_m$ 增大：忽略容器会低估金属实际放出的热量，从而低估其比热容。

4. 该方法假设测量期间系统始终孤立。迅速放入样品可限制热样品入水前与空气的热交换，良好隔热可限制达到平衡过程中的损失。任何未计入的传热都会使能量平衡和推得的 $c_m$ 失真。这正是布莱克，以及后来使用冰量热器的拉瓦锡和拉普拉斯所重视的实验细节。