热力学习题详解

混合两份水

习题 3 · 课程 2 — 热力学与量热学的历史

  • 量热学
  • 混合
  • 热容量
  • 比热容
  • 约瑟夫·布莱克
  • 平衡温度

题目

把 m1=0,200 kgm_1=0{,}200\,\text{kg}、温度为 T1=80 ∘CT_1=80\,^\circ\text{C} 的水倒入一个已装有 m2=0,300 kgm_2=0{,}300\,\text{kg}、温度为 T2=15 ∘CT_2=15\,^\circ\text{C} 的水的容器中。容器是理想量热器：忽略向外界的热损失及容器自身的热容量。已知 Q=mcΔTQ=mc\Delta T，其中 c=4,18×103 J ⁣⋅ ⁣kg−1 ⁣⋅ ⁣K−1c=4{,}18\times10^3\,\text{J}\!\cdot\!\text{kg}^{-1}\!\cdot\!\text{K}^{-1} 为液态水的比热容。

  1. 说明热水放出的热量为何全部被冷水吸收，并写出含 m1m_1、m2m_2、cc、T1T_1、T2T_2 和平衡温度 TeqT_{eq} 的守恒方程。
  2. 推导 TeqT_{eq} 的表达式并计算数值。
  3. 计算混合过程中热水放出的热量 QQ。
  4. 混合同一种物质能否测定 cc？说明理由。

提示
量热器隔热且刚性，因此总内能 U1+U2U_1+U_2 守恒：一份水放出的热量由另一份水以相反符号吸收。

详细解答

解答
1. 由于量热器与外界隔离（器壁绝热且刚性），热水与冷水组成的系统总内能守恒：一方损失的能量恰好由另一方获得。因此 Q1,吸收=−Q2,吸收Q_{1,\textrm{吸收}}=-Q_{2,\textrm{吸收}}，即 Q1,吸收+Q2,吸收=0Q_{1,\textrm{吸收}}+Q_{2,\textrm{吸收}}=0。对每份水从初态到平衡态采用 Q=mcΔTQ=mc\Delta T 的符号约定，可写成

m1c(Teq−T1)+m2c(Teq−T2)=0.m_1c(T_{eq}-T_1)+m_2c(T_{eq}-T_2)=0.

2. 公因子 cc 消去：

Teq=m1T1+m2T2m1+m2=0,200×80+0,300×150,200+0,300=41 ∘C.T_{eq}=\frac{m_1T_1+m_2T_2}{m_1+m_2} =\frac{0{,}200\times80+0{,}300\times15}{0{,}200+0{,}300}=41\,^\circ\text{C}.

3. 热水放出的热量为

Q1,放出=−Q1,吸收=m1c(T1−Teq)=0,200×4,18×103×(80−41)≈3,26×104 J.Q_{1,\textrm{放出}}=-Q_{1,\textrm{吸收}}=m_1c(T_1-T_{eq})=0{,}200\times4{,}18\times10^3\times(80-41) \approx3{,}26\times10^4\,\text{J}.

冷水恰好吸收相同的热量：

Q2,吸收=m2c(Teq−T2)=0,300×4,18×103×26≈3,26×104 J.Q_{2,\textrm{吸收}}=m_2c(T_{eq}-T_2)=0{,}300\times4{,}18\times10^3\times26 \approx3{,}26\times10^4\,\text{J}.

4. 不能。对同一种物质的两份质量，cc 同时乘在能量平衡的两项上并被消去。平衡温度与 cc 无关，只是按质量加权的初温平均值。用混合法测比热容需要引入热容量已知的物质，如下一题所示。