Bài tập nhiệt động lực học có lời giải

Khí quyển đẳng nhiệt và thế hóa học

Bài tập 41 · Bài học 8 — Chiều diễn biến, cân bằng và tính ổn định

thế hóa học
khí quyển
công thức khí áp
trọng lực
khí lý tưởng

Đề bài

Với một mol không khí ở độ cao $z$ , cho thế hóa học tổng quát

μ (T, P, z) = μ^{\circ} (T) + R T ln (\frac{P}{P ^{\circ}}) + M g z,

trong đó $M$ là khối lượng mol của không khí. Khí quyển được giả thiết là đẳng nhiệt.

Giải thích tại sao ở trạng thái cân bằng $μ$ phải không phụ thuộc vào $z$ .
Suy ra phương trình vi phân mà $P (z)$ thỏa mãn, rồi suy ra công thức khí áp.
Ước lượng $P (h) / P (0)$ với $h = 8, 85 km$ , $T = 260 K$ , $M = 29, 0 g mo l^{- 1}$ và $g = 9, 81 m s^{- 2}$ .
Nêu một giới hạn quan trọng của mô hình này.

Gợi ý

Ở trạng thái cân bằng, việc chuyển một lượng nhỏ vật chất từ độ cao này sang độ cao khác không được làm thay đổi năng lượng tự do ở bậc nhất.

Lời giải chi tiết

Lời giải

1. Nếu

μ

ở một độ cao lớn hơn ở độ cao khác, thì một sự chuyển vật chất về phía vùng có thế thấp hơn sẽ làm giảm năng lượng tự do. Vì vậy cân bằng đòi hỏi

d μ = 0

. 2. Ở nhiệt độ không đổi,

0 = d μ = R T \frac{d P}{P} + M g d z .

Như vậy $d P / P = - (M g / R T) d z$ . Tích phân từ $0$ đến $z$ ,

\int_{P (0)}^{P (z)} \frac{d P}{P} = - \frac{M g}{R T} \int_{0}^{z} d z,

suy ra

P (z) = P (0) exp (- \frac{M g z}{R T}) .

3. Khối lượng mol trong hệ SI bằng $M = 2, 90 \times 1 0^{- 2} kg mo l^{- 1}$ . Số mũ là

\frac{M g h}{R T} = \frac{2 , 90 \times 1 0 ^{- 2} \times 9 , 81 \times 8 , 85 \times 1 0 ^{3}}{8 , 314 \times 260} ≃ 1, 17.

Do đó $P (h) / P (0) = e^{- 1, 17} ≃ 0, 31$ .

4. Nhiệt độ thực của khí quyển thay đổi theo độ cao. Mô hình đẳng nhiệt cho một bậc độ lớn hữu ích, nhưng không cho một profin chính xác; nó cũng bỏ qua độ ẩm và sự thay đổi thành phần.