حرارتی حرکیات کی حل شدہ مشق

بنیادی تعلق کو پڑھنا

مشق 33 · سبق 7 — ریاضیاتی ساخت: بنیادی تعلقات

بنیادی تعلق
درجۂ حرارت
دباؤ
کیمیائی پوٹینشل
امتدادیت
مثالی گیس

سوال

ایک گیس کے $n$ مول لیں جس کی اینٹروپی یہ ہے:

S (U, V, n) = n s_{0} + n c_{V} ln (\frac{U}{n u _{0}}) + n R ln (\frac{V}{n v _{0}}),

جہاں $s_{0}$ ، $u_{0}$ ، $v_{0}$ اور مولی حرارتی گنجائش $c_{V}$ مثبت مستقلات ہیں۔ یاد رہے کہ

\frac{1}{T} = (\frac{\partial S}{\partial U})_{V, n}, \frac{P}{T} = (\frac{\partial S}{\partial V})_{U, n}, - \frac{μ}{T} = (\frac{\partial S}{\partial n})_{U, V} .

براہِ راست جانچیں کہ $S$ امتدادی ہے۔
مساواتیں $U = n c_{V} T$ اور $P V = n R T$ دوبارہ حاصل کریں۔
$μ$ نکالیں اور اویلر کا تعلق $U = T S - P V + μ n$ جانچیں۔
وضاحت کریں کہ صرف تعلق $P V = n R T$ ، $(U, V, n)$ سے درجۂ حرارت اور دباؤ معلوم کرنے کے لیے کیوں کافی نہیں۔

اشارہ

امتدادیت کے لیے

(U, V, n)

کی جگہ

(λ U, λV, λn)

رکھیں۔

n

کے لحاظ سے تفرق کرتے وقت یاد رکھیں کہ

n

لوگارتھموں کے آگے بھی آتا ہے اور ان کے نسب نماؤں میں بھی۔

تفصیلی حل

حل

λ > 0

کے لیے

S (λ U, λV, λn) = λn s_{0} + λn c_{V} ln (\frac{λ U}{λn u _{0}}) + λn R ln (\frac{λV}{λn v _{0}}) .

لوگارتھموں کے اندر عوامل $λ$ منسوخ ہو جاتے ہیں۔ باقی رہتا ہے $S (λ U, λV, λn) = λ S (U, V, n)$ : تفاعل واقعی درجہ ایک کا متجانس ہے، لہٰذا امتدادی ہے۔

2. مقررہ

V

اور

n

پر

\frac{1}{T} = (\frac{\partial S}{\partial U})_{V, n} = n c_{V} \frac{1}{U},

لہٰذا $U = n c_{V} T$ ۔ اسی طرح

\frac{P}{T} = (\frac{\partial S}{\partial V})_{U, n} = n R \frac{1}{V} .

$T V$ سے ضرب دینے پر $P V = n R T$ ملتا ہے۔

3. مقررہ

U

اور

V

پر

(\frac{\partial S}{\partial n})_{U, V} = s_{0} + c_{V} ln (\frac{U}{n u _{0}}) - c_{V} + R ln (\frac{V}{n v _{0}}) - R .

یوں

μ = T [c_{V} + R - \frac{S}{n}] .

مگر $U / n = c_{V} T$ اور $P V / n = R T$ ۔ نتیجتاً

T S - P V + μ n = T S - n R T + n T (c_{V} + R - \frac{S}{n}) = n c_{V} T = U .

4. مساوات $P V = n R T$ ، $P$ ، $V$ اور $T$ کو باہم مربوط کرتی ہے، مگر یہ نہیں بتاتی کہ توانائی درجۂ حرارت پر کیسے منحصر ہے۔ حرارتی تعلق $U = n c_{V} T$ یہ کمی پوری کرتا ہے۔ ایک بنیادی تعلق یہ دونوں حالتی مساواتیں بیک وقت اپنے اندر رکھتا ہے اور کیمیائی پوٹینشل بھی متعین کرتا ہے۔