حرارتی حرکیات کی حل شدہ مشق

ادیابیاتی عمل پر میکسویل کے ایک تعلق کی جانچ

مشق 35 · سبق 7 — ریاضیاتی ساخت: بنیادی تعلقات

سوال

مقررہ ترکیب والے ایک بند نظام کے لیے

d U = T d S - P d V .

مستقل مولی حرارتی گنجائش $c_{V}$ والی ایک مثالی گیس لیں، اور $γ = c_{P} / c_{V}$ لکھیں، جہاں $c_{P} - c_{V} = R$ ۔

$U (S, V)$ کے تفرق سے میکسویل کا تعلق اخذ کریں: $(\frac{\partial T}{\partial V})_{S} = - (\frac{\partial P}{\partial S})_{V} .$
$T V^{γ - 1} = const$ سے بائیں طرف کا حساب کریں۔
مستقل حجم پر $P = n R T / V$ اور $d S = n c_{V} d T / T$ استعمال کر کے دائیں طرف کا الگ سے حساب کریں۔
جانچیں کہ دونوں نتائج یکساں ہیں۔

اشارہ

سوال 1 میں

T = (\partial U / \partial S)_{V}

اور

- P = (\partial U / \partial V)_{S}

کی شناخت کریں، پھر مشتقات کی ترتیب بدلیں۔

حل

U

کے فطری متغیرات

S

اور

V

ہیں۔ لہٰذا

T = (\frac{\partial U}{\partial S})_{V}, - P = (\frac{\partial U}{\partial V})_{S} .

چونکہ $U$ کے مخلوط مشتقات برابر ہیں،

(\frac{\partial T}{\partial V})_{S} = \frac{\partial ^{2} U}{\partial V \partial S} = - (\frac{\partial P}{\partial S})_{V} .

2. قابلِ برگشت ادیابیاتی عمل پر $T V^{γ - 1} = K$ ۔ مستقل اینٹروپی پر تفرق لینے سے

V^{γ - 1} d T + T (γ - 1) V^{γ - 2} d V = 0.

$V^{γ - 1} d V$ سے تقسیم کرنے کے بعد

(\frac{\partial T}{\partial V})_{S} = - (γ - 1) \frac{T}{V} .

3. مستقل حجم پر $P = n R T / V$ ، لہٰذا

(\frac{\partial P}{\partial S})_{V} = \frac{n R}{V} (\frac{\partial T}{\partial S})_{V} .

مگر مستقل حجم پر $d S = n c_{V} d T / T$ ، اس لیے $(\partial T / \partial S)_{V} = T / (n c_{V})$ ۔ یوں

- (\frac{\partial P}{\partial S})_{V} = - \frac{R T}{c _{V} V} .

4. مائر کا تعلق $R / c_{V} = (c_{P} - c_{V}) / c_{V} = γ - 1$ دیتا ہے۔ لہٰذا دائیں طرف $- (γ - 1) T / V$ ہے، بالکل بائیں طرف کی طرح۔