نظام کا سائز بدلنا

ایک عام یکساں نظام کی کمیت $m$، حجم $V$، ذرات کی تعداد $N$، اندرونی توانائی $U$، درجۂ حرارت $T$ اور دباؤ $P$ ہے۔ یہاں $U$ کو امتدادی فرض کیا گیا ہے، یعنی دور رس تعاملات اور کناری اثرات کو نظرانداز کیا گیا ہے۔ شدتی حالت کو مقرر رکھتے ہوئے نظام کا سائز بدلا جاتا ہے: $(m,V,N,U)\mapsto (\lambda m,\lambda V,\lambda N,\lambda U)$، جہاں $\lambda >0$، جبکہ $T$ اور $P$ بدستور رہتے ہیں۔

1. $m/V$، $V/N$، $U/N$، $PV$، $U^2/V$ اور $V^{1/3}$ کا درجۂ تجانس معلوم کریں۔ کون سی مقداریں امتدادی ہیں، کون سی شدتی، اور کون سی دونوں میں سے کوئی نہیں؟
2. کسی توانائی کے لیے دو اظہار تجویز کیے گئے ہیں، $U_1=aN{k}_{\mathrm{B}}T$ اور $U_2=a{N}^2{k}_{\mathrm{B}}T$، جہاں $a>0$ بے بُعد ہے اور نظام کے سائز پر منحصر نہیں۔ ان کے ابعاد کی جانچ کریں، پھر معلوم کریں کہ ان میں سے کون سا امتدادیت کے مفروضے سے ہم آہنگ ہے۔ یاد دلائیں کہ یہ دونوں جانچیں الگ الگ کیوں ہیں۔
3. رداس $R$ والے کرے کے لیے رقبہ $A$ کو حجم $V$ کے تفاعل کے طور پر لکھیں۔ مقررہ کثافت پر ایک ہی کرے کو بڑا کرنے پر $A$ اور $A/V$ کے درجاتِ تجانس معلوم کریں۔
4. حجم $8V$ والے ایک کرے کے رقبے کا موازنہ آٹھ الگ الگ کروں کے کل رقبے سے کریں، جن میں سے ہر ایک کا حجم $V$ ہے۔ وضاحت کریں کہ کسی جسم کی سطوحِ فاصل کے رقبے کے لیے ”جسم کو بڑا کرنا“ اور ”اس کی نقول کو ساتھ ساتھ رکھنا“ ایک ہی نتیجہ کیوں نہیں دیتے۔