حرارتی حرکیات کی حل شدہ مشق

آزاد متغیرات کی گنتی

مشق 8 · سبق 3 — بنیادی تصورات

حالتی مساوات
درجاتِ آزادی
قیود
حالتی محددات

سوال

ایک مثالی گیس کی حالت ہائے توازن کو چار مثبت متغیرات $(P, V, T, n)$ سے بیان کیا جاتا ہے، جو $P V = n R T$ کے ذریعے باہم جڑے ہیں۔ قابلِ رسائی حالتوں کے مجموعے کی بُعدیت $d = q - r$ معلوم کرنی ہے، جہاں $q$ استعمال شدہ متغیرات کی تعداد اور $r$ آزاد تعلقات کی تعداد ہے۔

جب $n$ بدل سکتا ہو تو $q$ ، $r$ اور $d$ معلوم کریں۔ تین آزاد محددات تجویز کریں اور چوتھے متغیر کو ان کے ذریعے ظاہر کریں۔
مادے کی مقررہ مقدار $n = n_{0}$ کے لیے گنتی دوبارہ کریں، پھر جب $T = T_{0}$ بھی عائد ہو، اور آخر میں جب $V = V_{0}$ بھی عائد ہو۔ ہر مرحلے پر قابلِ رسائی حالتوں کے لیے محددات کا ایک انتخاب پیش کریں۔
ایک طالب علم $P V = n R T$ کے ساتھ تعلق $P = n R T / V$ کا اضافہ کر کے دو حالتی مساواتیں گنتا ہے۔ اس کی غلطی کی وضاحت کریں۔
مادے کی مقررہ مقداروں $n_{1}, n_{2}$ والی دو مثالی گیسیں کل حجم $V_{tot}$ والے ایک ظرف کے خانوں میں موجود ہیں۔ انہیں ایک حرارت گزار پسٹن جدا کرتا ہے، جو بغیر رگڑ اور بغیر کسی بیرونی قوت کے حرکت کر سکتا ہے۔ مشترک درجۂ حرارت مقرر نہیں کیا جاتا۔ توازن پر $(P_{1}, V_{1}, T_{1}, P_{2}, V_{2}, T_{2})$ کے درمیان آزاد تعلقات گنیں۔ حجموں اور مشترک دباؤ کو باقی رہ جانے والے ایک محدد کے تفاعل کے طور پر ظاہر کریں۔

اشارہ

سوال 2 کی تینوں گنتیوں میں ابتدائی چاروں متغیرات برقرار رکھیں اور ہر مرحلے پر ایک قید کا اضافہ کریں۔ پسٹن کے لیے دونوں حالتی مساواتیں، کل حجم، حرارتی توازن اور میکانی توازن استعمال کریں۔

تفصیلی حل

حل

سوال 1۔

q = 4

متغیرات اور ایک آزاد تعلق استعمال ہوتا ہے، یعنی

r = 1

اور

d = 3

(V, T, n)

کا انتخاب کیا جا سکتا ہے: تب باقی متغیر

P = n R T / V

ہے۔ شرط

V > 0

اس تقسیم کو ممکن بناتی ہے۔ سوال 2۔ بند گیس کے لیے تعلقات

P V = n R T

اور

n = n_{0}

ہیں، اس لیے

r = 2

اور

d = 4 - 2 = 2

۔ جوڑا

(V, T)

موزوں ہے، اور

P = n_{0} R T / V

۔ اگر شروع ہی سے

n

کو متغیرات کی فہرست سے نکال دیا جاتا تو بھی

q = 3

r = 1

، اور یوں وہی

d = 2

حاصل ہوتا۔ اضافی قید

T = T_{0}

سے

r

بڑھ کر

3

ہو جاتا ہے اور

d = 1

ملتا ہے۔ حالتوں کی پیرامیٹرائزیشن کے لیے حجم

V

کافی ہے، کیونکہ

P = n_{0} R T_{0} / V

۔ آخر میں

V = V_{0}

عائد کرنے سے

r

بڑھ کر

4

ہو جاتا ہے اور

d = 0

ملتا ہے: صرف ایک واحد حالت باقی رہتی ہے، جس میں

P = n_{0} R T_{0} / V_{0}

۔ اس آخری مجموعے کے لیے کسی آزاد محدد کی ضرورت نہیں۔ یہ قیود قابلِ رسائی مجموعے کو چھوٹا کرتی ہیں، نہ کہ قیود سے آزاد گیس کو بیان کرنے کے لیے درکار متغیرات کی تعداد کو۔ سوال 3۔ چونکہ

V > 0

، دوسری صورت پہلی کو

V

سے تقسیم کر کے حاصل ہوتی ہے۔ جو حالت ایک کو پورا کرے وہ خودبخود دوسری کو بھی پورا کرتی ہے۔ اس لیے دوسرا تعلق کوئی اضافی حالت خارج نہیں کرتا اور

r

میں اضافہ نہیں کرتا۔ گنتی آزاد قیود کی کرنی ہوتی ہے، مساواتوں کی سطروں کی نہیں۔ سوال 4۔ چھ متغیرات یہ پانچ تعلقات پورے کرتے ہیں:

P_{1} V_{1} = n_{1} R T_{1}, P_{2} V_{2} = n_{2} R T_{2}, V_{1} + V_{2} = V_{tot}, T_{1} = T_{2}, P_{1} = P_{2} .

فرض کریں $T = T_{1} = T_{2}$ اور $P = P_{1} = P_{2}$ ۔ دونوں حالتی مساواتوں کو جمع کرنے سے حاصل ہوتا ہے:

P (V_{1} + V_{2}) = (n_{1} + n_{2}) R T, P = \frac{( n _{1} + n _{2} ) R T}{V _{tot}} .

اسے ہر حالتی مساوات میں واپس رکھنے سے:

V_{1} = \frac{n _{1} R T}{P} = \frac{n _{1}}{n _{1} + n _{2}} V_{tot}, V_{2} = \frac{n _{2} R T}{P} = \frac{n _{2}}{n _{1} + n _{2}} V_{tot} .

عامل $R T$ حجموں کے اظہار میں کٹ جاتا ہے، مگر دباؤ کے اظہار میں نہیں۔ درجۂ حرارت $T > 0$ آزاد رہتا ہے اور باقی تمام متغیرات کا تعین کرتا ہے: پانچوں تعلقات واقعی آزاد ہیں اور $d = 6 - 5 = 1$ ۔ توانائی سے متعلق کوئی اضافی معلومات کسی خاص حالت کا انتخاب کر سکتی ہیں؛ یہاں ایسی کوئی شرط عائد نہیں کی گئی۔