Çözümlü termodinamik alıştırması

İzotermal atmosfer ve kimyasal potansiyel

Alıştırma 41 · Ders 8 — Süreçlerin yönü, denge ve kararlılık

kimyasal potansiyel
atmosfer
barometrik yasa
yerçekimi
ideal gaz

Soru

$z$ yüksekliğindeki bir mol hava için genelleştirilmiş kimyasal potansiyel

μ (T, P, z) = μ^{\circ} (T) + R T ln (\frac{P}{P ^{\circ}}) + M g z

olarak verilir; burada $M$ havanın molar kütlesidir. Atmosferin izotermal olduğu varsayılır.

Dengede $μ$ 'nün neden $z$ 'den bağımsız olması gerektiğini açıklayınız.
Buradan $P (z)$ 'nin sağladığı diferansiyel denklemi, ardından barometrik yasayı çıkarınız.
$h = 8, 85 km$ , $T = 260 K$ , $M = 29, 0 g mo l^{- 1}$ ve $g = 9, 81 m s^{- 2}$ için $P (h) / P (0)$ 'ı tahmin ediniz.
Bu modelin önemli bir sınırlılığını belirtiniz.

İpucu

Dengede, küçük bir madde miktarını bir yükseklikten diğerine taşımak serbest enerjiyi birinci mertebede değiştirmemelidir.

Ayrıntılı çözüm

Çözüm

μ

bir yükseklikte diğerinden daha büyük olsaydı, potansiyelin daha düşük olduğu bölgeye doğru bir madde aktarımı serbest enerjiyi azaltırdı. Dolayısıyla denge

d μ = 0

olmasını dayatır. 2. Sabit sıcaklıkta

0 = d μ = R T \frac{d P}{P} + M g d z .

Böylece $d P / P = - (M g / R T) d z$ . $0$ 'dan $z$ 'ye tümlenirse

\int_{P (0)}^{P (z)} \frac{d P}{P} = - \frac{M g}{R T} \int_{0}^{z} d z,

buradan

P (z) = P (0) exp (- \frac{M g z}{R T}) .

3. SI birimlerinde molar kütle $M = 2, 90 \times 1 0^{- 2} kg mo l^{- 1}$ 'dir. Üs şudur:

\frac{M g h}{R T} = \frac{2 , 90 \times 1 0 ^{- 2} \times 9 , 81 \times 8 , 85 \times 1 0 ^{3}}{8 , 314 \times 260} ≃ 1, 17.

Dolayısıyla $P (h) / P (0) = e^{- 1, 17} ≃ 0, 31$ .

4. Atmosferin gerçek sıcaklığı yükseklikle değişir. İzotermal model yararlı bir büyüklük mertebesi verir, ama kesin bir profil vermez; ayrıca nemi ve bileşimin değişimini de ihmal eder.