Bir iç bölmeyle ayrılan iki gaz

Soru 1. Şema toplam $2V$ hacimli rijit kabı ayıran bir bölmeyi gösterir. Solda $(n_1,T_1,V,P_0)$, sağda $(3n_1,T_1/2,V,P_{2,i})$. Dış duvarlar adyabatiktir. Sabit, geçirimsiz ve adyabatik iç bölme hiçbir alışverişe izin vermez: sıcaklıklar ve basınçlar farklı olsa bile her gaz durumunu korur. Bölme desteği basınç farkını taşır.

Soru 2 — Cebirsel hesap. İdeal gaz denklemi,

$$P_{1,i}=\frac{n_1RT_1}{V}=P_0, \qquad P_{2,i}=\frac{3n_1R(T_1/2)}{V}=\frac32P_0.$$

Soru 3 — Sabit, ısı geçiren bölme. $\mathrm{d}U_2=-\mathrm{d}U_1$ koşuluyla küçük enerji aktarımı sırasında hacimler sabittir: her gaz için $\mathrm dS_j=\mathrm dU_j/T_j$. Toplayınca,

$$\mathrm dS_{\mathrm{tot}}=\frac{\mathrm dU_1}{T_1} +\frac{\mathrm dU_2}{T_2} =\frac{\mathrm dU_1}{T_1}-\frac{\mathrm dU_1}{T_2}.$$

Bu değişimdeki sıcaklıklar incelenen duruma aittir. Ortak çarpan alınırsa,

$$\mathrm{d}S_{\mathrm{tot}} =\left(\frac1{T_1}-\frac1{T_2}\right)\mathrm{d}U_1.$$

Dengede entropi maksimumdur; $\mathrm{d}U_1$ katsayısı sıfır olmalıdır, bu da $T_{1,f}=T_{2,f}=T_f$ gerektirir. Enerji korunumu,

$$n_1\frac32R(T_f-T_1) +3n_1\frac32R\left(T_f-\frac{T_1}{2}\right)=0,$$

Enerji bilançosunu $(3/2)n_1R$ değerine bölünce,

$$(T_f-T_1)+3\left(T_f-\frac{T_1}{2}\right)=0, \quad 4T_f-\frac52T_1=0, \quad T_f=\frac58T_1.$$

Ardından $P_{1,f}=n_1RT_f/V=(T_f/T_1)P_0$ ve $P_{2,f}=3n_1RT_f/V=3(T_f/T_1)P_0$; dolayısıyla,

$$T_f=\frac58T_1, \qquad P_{1,f}=\frac58P_0, \qquad P_{2,f}=\frac{15}{8}P_0.$$

Bölme sabit olduğundan gazlar arasında mekanik denge gerekmez: son basınçları farklı olabilir.

Soru 4 — Entropi bilançosu. Gaz 2 enerjiyi tamamen ısı olarak alır,

$$Q_{1\to2}=\Delta U_2 =3n_1\frac32R\left(\frac58T_1-\frac12T_1\right) =\frac9{16}n_1RT_1.$$

Gaz 1 ters işaretli ısıyı alır: $Q_1=-Q_{1\to2}<0$, buna karşılık $Q_2=Q_{1\to2}>0$. Bölme sabittir, dolayısıyla $W_1=W_2=0$. Bütün yalıtılmıştır, dolayısıyla $S_{\mathrm{e}}=0$ ve $S_{\mathrm{i}}=\Delta S_{\mathrm{tot}}$. Hacimler sabit olduğundan,

$$\Delta S_1=\frac32n_1R\ln\frac{T_f}{T_1} =\frac32n_1R\ln\frac58, \Delta S_2=\frac32(3n_1)R\ln\frac{T_f}{T_1/2} =\frac92n_1R\ln\frac54.$$

Gaz 1 entropi kaybeder, gaz 2 kazanır. Toplamları,

$$S_{\mathrm{i}} =\frac32n_1R\left[ \ln\!\left(\frac58\right) +3\ln\!\left(\frac54\right) \right]>0.$$

Bu entropi üretimi, başlangıç sıcaklıkları farklı gazlar arasındaki kendiliğinden ısı aktarımını ifade eder. Sayısal değerler kullanmadan işareti görmek için logaritmaları birleştirelim:

$$\ln\frac58+3\ln\frac54 =\ln\left[\frac58\left(\frac54\right)^3\right] =\ln\frac{625}{512}>0.$$

Soru 5 — Hareketli, ısı geçiren bölme. $\mathrm{d}U_2=-\mathrm{d}U_1$ ve $\mathrm{d}V_2=-\mathrm{d}V_1$ ile,

$$\mathrm{d}S_{\mathrm{tot}} =\left(\frac1{T_1}-\frac1{T_2}\right)\mathrm{d}U_1 +\left(\frac{P_1}{T_1}-\frac{P_2}{T_2}\right)\mathrm{d}V_1.$$

Bölme enerji ve hacmin bağımsız yeniden dağılımına izin verir. Durağanlık her $\mathrm dU_1$ ve her $\mathrm dV_1$ için sağlanmalıdır: iki katsayı sıfırlanır. İlki $T_{1,f}=T_{2,f}$ gerektirir; ikincisi ardından $P_{1,f}/T_f=P_{2,f}/T_f$, yani $P_{1,f}=P_{2,f}$ verir. Enerji korunumu yine $T_f=5T_1/8$ verir. Ortak basınç ve sıcaklıkta hacimler madde miktarlarıyla orantılıdır. Toplamları $2V$ olduğundan,

$$\frac{V_{2,f}}{V_{1,f}}=\frac{3n_1RT_f/P_f}{n_1RT_f/P_f}=3, \qquad V_{1,f}+3V_{1,f}=2V.$$

Böylece $V_{1,f}=V/2$ ve $V_{2,f}=3V/2$.

Ortak basınç $P_f=n_1R(5T_1/8)/(V/2)=(5/4)P_0$ olur. Dolayısıyla,

$$V_{1,f}=\frac V2, \qquad V_{2,f}=\frac{3V}{2}, \qquad P_f=\frac54P_0.$$

İç enerji değişimleri sabit bölmedekiyle aynıdır, fakat artık enerji hem ısı hem iş olarak aktarılır. Entropi bilançosu soru 4'teki sıcaklık terimlerine ek hacim terimleri içerir:

$$\Delta S_1=\frac32n_1R\ln\frac58+n_1R\ln\frac{V/2}{V}, \Delta S_2=\frac92n_1R\ln\frac54+3n_1R\ln\frac{3V/2}{V}.$$

Toplayınca,

$$S_{\mathrm{i}}=\Delta S_{\mathrm{tot}} =\frac32n_1R\left[ \ln\!\left(\frac58\right)+3\ln\!\left(\frac54\right) \right] +n_1R\left[ \ln\!\left(\frac12\right)+3\ln\!\left(\frac32\right) \right]>0.$$

Sabit bölmeye göre artış,

$$n_1R\left[\ln\frac12+3\ln\frac32\right] =n_1R\ln\left[\frac12\left(\frac32\right)^3\right] =n_1R\ln\frac{27}{16}>0.$$

Bölmenin hareketine izin vermek sistemin erişebildiği son entropiyi artırır.