İki blok arasında bir makine: geri kazanılabilir maksimum iş

Soru 1. Bloklar rijittir ve iş almaz. Enerji değişimleri bu yüzden aldıkları ısıdır:

$$C_A\,\mathrm dT_A=-\delta Q_A,\qquad C_B\,\mathrm dT_B=-\delta Q_B.$$

Makine başlangıç durumuna döner. Enerji bilançosu $0=\delta Q_A+\delta Q_B+\delta W$, yani,

$$\delta W=-(\delta Q_A+\delta Q_B)<0.$$

Verim geri kazanılan işin A'dan alınan ısıya oranıdır. $\delta W<0$ olduğundan $|\delta W|=-\delta W$, dolayısıyla,

$$\eta=\frac{|\delta W|}{\delta Q_A} =1+\frac{\delta Q_B}{\delta Q_A}=1-\frac{T_B}{T_A} \quad\Longrightarrow\quad \delta Q_B=-\frac{T_B}{T_A}\delta Q_A.$$

A bloğu $-\delta Q_A<0$, B bloğu $-\delta Q_B>0$ alır. Pozitif ısı kapasiteleriyle $\mathrm dT_A<0$ ve $\mathrm dT_B>0$. Bu nedenle sıcaklık farkı azalır:

$$\mathrm d(T_A-T_B) =-\delta Q_A\left(\frac1{C_A}+\frac{T_B}{C_BT_A}\right)<0.$$

$T_B/T_A$ oranı artar çünkü payı artarken paydası azalır. $1-T_B/T_A$ verimi kademeli düşer. $T_A=T_B$ olduğunda sıfırlanır: sıcaklık farkı tükenmiştir ve bu bloklar arasında çalışan hiçbir çevrimsel makine ek iş veremez.

Soru 2. Blok bilançoları $\delta Q_A=-C_A\,\mathrm dT_A$ ve $\delta Q_B=-C_B\,\mathrm dT_B$ verir. Önceki bağıntıya yerleştirelim:

$$-C_B\,\mathrm dT_B =-\frac{T_B}{T_A}(-C_A\,\mathrm dT_A) =\frac{T_B}{T_A}C_A\,\mathrm dT_A.$$

İşareti değiştirip $T_B$ değerine bölünce,

$$C_B\,\mathrm dT_B=-\frac{T_B}{T_A}C_A\,\mathrm dT_A, \qquad C_A\frac{\mathrm dT_A}{T_A} +C_B\frac{\mathrm dT_B}{T_B}=0.$$

Başlangıç sıcaklıklarından herhangi bir çevrim sayısı sonunda ulaşılan sıcaklıklara kadar integre edelim:

$$C_A\int_{T_{A,0}}^{T_A}\frac{\mathrm dT}{T} +C_B\int_{T_{B,0}}^{T_B}\frac{\mathrm dT}{T}=0.$$

$1/T$ ifadesinin bir ilkel fonksiyonu $\ln T$ olduğundan sınırlar konunca,

$$C_A\ln\frac{T_A}{T_{A,0}}+C_B\ln\frac{T_B}{T_{B,0}}=0.$$

Bu bağıntı tersinir çalışma sırasında toplam entropinin korunmasını ifade eder. Makine durduğunda $T_A=T_B=T_r$. $\ln(T_r/T_{B,0})=\ln(T_r/T_{A,0})+\ln(T_{A,0}/T_{B,0})$ yazılınca,

$$(C_A+C_B)\ln\frac{T_r}{T_{A,0}} =C_B\ln\frac{T_{B,0}}{T_{A,0}}.$$

$C_A+C_B$ değerine bölüp üstelini alınca,

$$\boxed{T_r=T_{A,0} \left(\frac{T_{B,0}}{T_{A,0}}\right)^{C_B/(C_A+C_B)}.}$$

Blokların ısı kapasiteleri sonludur: her ısı alışverişi sıcaklıklarını $\mathrm dT=\delta Q_{\mathrm{block}}/C$ ile değiştirir; $\delta Q_{\mathrm{block}}$ incelenen bloğun aldığı ısıdır. Başlangıç verimi bu yüzden deney boyunca geçerli değildir. Sıcaklıklar ancak her sonsuz küçük çevrim içinde sabit kabul edilebilir; her seferinde güncel değerler kullanılmalıdır.

Soru 3. Bloklar ve makine bütünü adyabatiktir ama iş verir: yalıtılmış değildir. Makine enerji depolamadığından birinci ilke,

$$C_A(T_r-T_{A,0})+C_B(T_r-T_{B,0})=W_{\mathrm{rev}}.$$

Bütünün aldığı iş makinenin aldığı iştir. Terimleri toplayınca,

$$W_{\mathrm{rev}}=(C_A+C_B)T_r-C_AT_{A,0}-C_BT_{B,0}<0.$$

Sistem dışında geri kazanılan iş bunun mutlak değeridir:

$$\boxed{|W_{\mathrm{rev}}|=-W_{\mathrm{rev}} =C_AT_{A,0}+C_BT_{B,0}-(C_A+C_B)T_r.}$$

Her $CT$ çarpımının birimi enerji birimi joule'dür. Tersinirliğin neden maksimum verdiğini görmek için entropi üreten ve blokları ortak $T_*$ sıcaklığında bırakan bir makine düşünelim. Blokların entropi bilançosu,

$$C_A\ln\frac{T_*}{T_{A,0}}+C_B\ln\frac{T_*}{T_{B,0}}\geq0.$$

Sıfır olan tersinir bilanço çıkarılınca $(C_A+C_B)\ln(T_*/T_r)\geq0$, dolayısıyla $T_*\geq T_r$ kalır. Bu motor çalışmasında alınan iş $W_*=(C_A+C_B)T_*-C_AT_{A,0}-C_BT_{B,0}$ olduğundan,

$$W_*-W_{\mathrm{rev}}=(C_A+C_B)(T_*-T_r)\geq0.$$

Böylece $W_{\mathrm{rev}}\leq W_*\leq0$: alınan iş tersinir durumda en negatiftir. Bu nedenle mutlak değeri maksimumdur, $|W_*|\leq|W_{\mathrm{rev}}|$.

$C_A=C_B=C$ için üs $1/2$ olur; dolayısıyla,

$$T_r=T_{A,0}\sqrt{\frac{T_{B,0}}{T_{A,0}}} =\sqrt{T_{A,0}T_{B,0}}, W_{\mathrm{rev}}=-C\left(\sqrt{T_{A,0}}-\sqrt{T_{B,0}}\right)^2<0, |W_{\mathrm{rev}}|=C\left(T_{A,0}+T_{B,0} -2\sqrt{T_{A,0}T_{B,0}}\right) =C\left(\sqrt{T_{A,0}}-\sqrt{T_{B,0}}\right)^2>0.$$

$a^2+b^2-2ab=(a-b)^2$ özdeşliğini tanırız. Başlangıç sıcaklıkları eşitse iş sıfırdır.

Soru 4. Verilen ısı kapasitesi birim kütle başınadır. Her bloğun toplam ısı kapasitesi,

$$C=mc=1{,}0\times450=450\ \mathrm{J\,K^{-1}}.$$

Karekök içindeki sıcaklıklar kelvin cinsinden olmalıdır:

$$T_{A,0}=60+273{,}15=333{,}15\ \mathrm K,\qquad T_{B,0}=20+273{,}15=293{,}15\ \mathrm K.$$

Soru 3'ün sonucuna yerleştirince,

$$|W_{\mathrm{rev}}| =450\left(\sqrt{333{,}15}-\sqrt{293{,}15}\right)^2 \simeq575\ \mathrm J=0{,}575\ \mathrm{kJ}.$$

Geri kazanılabilir maksimum iş yaklaşık $0{,}58\ \mathrm{kJ}$ olur. Alınan enerji kuralıyla makinenin aldığı iş $W_{\mathrm{rev}}\simeq-575\ \mathrm J$: negatif işaret bu enerjiyi çevreye verdiğini belirtir.