Carnot çevrimi: her kolda enerji ve entropi

Soru 1. Diyagram $AB$ ve $CD$ adyabatlarını, sıcak izoterm üzerindeki $BC$ ve soğuk izoterm üzerindeki $DA$ kollarını gösterir. Çevrim saat yönündedir. $AB$ adyabatında Laplace bağıntısı,

$$T_{\mathrm{C}}V_A^{\gamma-1}=T_{\mathrm{H}}V_B^{\gamma-1},\qquad \left(\frac{V_A}{V_B}\right)^{\gamma-1}=\frac{T_{\mathrm{H}}}{T_{\mathrm{C}}}.$$

$1/(\gamma-1)$ kuvvetine yükseltip $b=(T_{\mathrm{H}}/T_{\mathrm{C}})^{1/(\gamma-1)}$ tanımlayınca $V_A=bV_B$ elde edilir. Benzer biçimde $CD$ boyunca,

$$T_{\mathrm{H}}V_C^{\gamma-1}=T_{\mathrm{C}}V_D^{\gamma-1} \quad\Longrightarrow\quad V_D=bV_C=brV_B.$$

Dolayısıyla $V_D/V_A=(brV_B)/(bV_B)=r$: izotermlerde aynı hacim oranı ters yönlerde izlenir.

Soru 2. Her tersinir adyabatta $\delta Q_{\mathrm{rev}}=0$ ve $\mathrm dS=\delta Q_{\mathrm{rev}}/T=0$:

$$Q_{AB}=Q_{CD}=0,\qquad \Delta S_{AB}=\Delta S_{CD}=0.$$

İdeal gaz izoterminde $\mathrm dU=0$, dolayısıyla $\delta Q_{\mathrm{rev}}=P\,\mathrm dV=nRT\,\mathrm dV/V$. Sıcak izotermdeki genleşme için,

$$\begin{aligned} Q_{BC}&=nRT_{\mathrm{H}}\int_{V_B}^{rV_B}\frac{\mathrm dV}{V} =nRT_{\mathrm{H}}[\ln V]_{V_B}^{rV_B}=nRT_{\mathrm{H}}\ln r>0,\\ \Delta S_{BC}&=\frac{Q_{BC}}{T_{\mathrm{H}}}=nR\ln r. \end{aligned}$$

Soğuk izotermdeki sıkıştırma için $V_A/V_D=1/r$:

$$\begin{aligned} Q_{DA}&=nRT_{\mathrm{C}}\int_{V_D}^{V_A}\frac{\mathrm dV}{V} =nRT_{\mathrm{C}}[\ln V]_{V_D}^{V_A}\\ &=nRT_{\mathrm{C}}\ln\frac{V_A}{V_D}=-nRT_{\mathrm{C}}\ln r<0,\\ \Delta S_{DA}&=\frac{Q_{DA}}{T_{\mathrm{C}}}=-nR\ln r. \end{aligned}$$

$(S,T)$ diyagramında entropi $AB$ ve $CD$ boyunca sabittir: bu kollar düşeydir. $BC$ ve $DA$ izotermleri yataydır. $S_A$ bağıl başlangıç kabul edilirse koordinatlar,

$$\begin{aligned} \begin{array}{c|cc} \text{Durum}&S-S_A&T\\ \hline A&0&T_{\mathrm{C}}\\ B&0&T_{\mathrm{H}}\\ C&nR\ln r&T_{\mathrm{H}}\\ D&nR\ln r&T_{\mathrm{C}} \end{array} \end{aligned}$$

Genişliği $nR\ln r$, yüksekliği $T_{\mathrm{H}}-T_{\mathrm{C}}$ olan saat yönünde bir dikdörtgen elde edilir.

Soru 3. Bir çevrimde $\Delta U=0$. Alınan enerjiyi pozitif sayınca birinci ilke,

$$W=-(Q_{AB}+Q_{BC}+Q_{CD}+Q_{DA}) =-nR(T_{\mathrm{H}}-T_{\mathrm{C}})\ln r<0.$$

Verilen iş $-W>0$ ve sıcak rezervuardan alınan ısı $Q_{BC}>0$ olur. Dolayısıyla verim,

$$\eta=\frac{-W}{Q_{BC}} =\frac{nR(T_{\mathrm{H}}-T_{\mathrm{C}})\ln r}{nRT_{\mathrm{H}}\ln r} =\frac{T_{\mathrm{H}}-T_{\mathrm{C}}}{T_{\mathrm{H}}}=1-\frac{T_{\mathrm{C}}}{T_{\mathrm{H}}}.$$

Her rezervuar gaza verdiği ısının ters işaretlisini alır:

$$\Delta S_{\mathrm{th,H}}=\frac{-Q_{BC}}{T_{\mathrm{H}}}=-nR\ln r,\qquad \Delta S_{\mathrm{th,C}}=\frac{-Q_{DA}}{T_{\mathrm{C}}}=nR\ln r.$$

Gaz başlangıç durumuna döner; dolayısıyla $\Delta S_{\mathrm{gas}}=0$. Üç değişimin toplamı sıfırdır: entropi üretilmez. Çevreye verilen iş entropi taşımaz.

Soru 4. Makine için alınan enerji işaret kuralını koruyalım: $Q_{\mathrm{H}}>0$ sıcak rezervuardan, $Q_{\mathrm{C}}<0$ soğuk rezervuardan alınan ısı, $W<0$ ise çevrimde alınan iştir. Rezervuarlar zıt işaretli $-Q_{\mathrm{H}}$ ve $-Q_{\mathrm{C}}$ ısılarını alır. Makine başlangıç durumuna döndüğü ve çevreye yalnızca iş aktarıldığı için rezervuarların toplam entropi değişimi üretilen entropidir:

$$S_{\mathrm{i}}=-\frac{Q_{\mathrm{H}}}{T_{\mathrm{H}}}-\frac{Q_{\mathrm{C}}}{T_{\mathrm{C}}}.$$

$T_{\mathrm{C}}$ ile çarpıp $Q_{\mathrm{C}}$ ifadesini yalnız bırakırsak,

$$T_{\mathrm{C}}S_{\mathrm{i}}=-\frac{T_{\mathrm{C}}}{T_{\mathrm{H}}}Q_{\mathrm{H}}-Q_{\mathrm{C}}, \qquad Q_{\mathrm{C}}=-\frac{T_{\mathrm{C}}}{T_{\mathrm{H}}}Q_{\mathrm{H}}-T_{\mathrm{C}}S_{\mathrm{i}}.$$

Birinci ilke $0=Q_{\mathrm{H}}+Q_{\mathrm{C}}+W$ verir. Geri kazanılan iş $|W|=-W=Q_{\mathrm{H}}+Q_{\mathrm{C}}$ olduğundan,

$$\eta=\frac{|W|}{Q_{\mathrm{H}}}=1+\frac{Q_{\mathrm{C}}}{Q_{\mathrm{H}}} =1-\frac{T_{\mathrm{C}}}{T_{\mathrm{H}}}-\frac{T_{\mathrm{C}}S_{\mathrm{i}}}{Q_{\mathrm{H}}}.$$

$T_{\mathrm{C}}>0$ ve $Q_{\mathrm{H}}>0$ olduğundan pozitif entropi üretimi verimi azaltır.

Soru 5. Sıcak rezervuardan alınan ısı iki makine için aynıdır. Soru 2'den,

$$Q_{\mathrm{H}}=nRT_{\mathrm{H}}\ln r=1{,}0\times8{,}314\times500\times\ln3{,}4 \simeq5087\ \mathrm J.$$

Tersinir makinenin verimi,

$$\eta_{\mathrm{Carnot}}=1-\frac{T_{\mathrm{C}}}{T_{\mathrm{H}}} =1-\frac{300}{500}=0{,}40=40\,\%.$$

Soru 4 iki verim arasındaki farkı verir:

$$\Delta\eta=\eta_{\mathrm{Carnot}}-\eta_{\mathrm{irr}} =\frac{T_{\mathrm{C}}S_{\mathrm{i}}}{Q_{\mathrm{H}}} \simeq\frac{300\times2{,}0}{5087}=0{,}118.$$

$T_{\mathrm{C}}S_{\mathrm{i}}=600\ \mathrm J$ payı bir enerjidir; oran boyutsuzdur. Düşüş $100\Delta\eta\simeq11{,}8$ yüzde puandır. Böylece,

$$\eta_{\mathrm{irr}}=0{,}40-0{,}118\simeq0{,}282=28{,}2\,\%.$$

Verim $40\,\%$ değerinden $28{,}2\,\%$ değerine düşer; $11{,}8$ puanlık düşüş, $11{,}8\,\%$ oranında bağıl düşüş değildir.