Swali

Vitalu viwili visivyobadilika umbo A na B vina uwezo wa joto wa jumla thabiti $C_A>0$ na $C_B>0$ . Halijoto zake za awali ni $T_{A,0}>T_{B,0}>0$ . Kila kitalu kina halijoto sawa kila mahali, lakini halijoto hiyo inaweza kubadilika kinapobadilishana joto. Hakuna badiliko la awamu.

Tunaendesha mashine ya joto kati ya vitalu viwili bila kuvigusanisha moja kwa moja. Inachukua joto kutoka kitalu A, inatoa sehemu yake kwa kitalu B na kutoa kazi kwa mazingira. Mkusanyiko «vitalu + mashine» haubadilishani joto na mazingira. Mashine hurudia hali ileile baada ya kila mzunguko: haikusanyi nishati wala entropy. Tunatafuta kazi kubwa zaidi inayoweza kupatikana kwa kutumia tofauti ya awali ya halijoto.

Kwa hiyo tunachunguza kikomo cha mfululizo wa mizunguko rejeshi midogo isiyo na kikomo. Katika kila mmoja, halijoto za wakati huo $T_A$ na $T_B$ hubadilika kwa kiasi kidogo kisicho na kikomo. Tunatumia kanuni ya mabenki: nishati ni chanya inapopokelewa na mfumo unaozingatiwa. Tunaita $\delta Q_A$ na $\delta Q_B$ joto zinazopokelewa na mashine kutoka A na B kwa mpangilio huo, na $\delta W$ kazi inayopokelewa na mashine. Inapofanya kazi kama injini, $\delta Q_A>0$ , $\delta Q_B<0$ na $\delta W<0$ . Kwa hiyo joto zinazopokelewa na vitalu ni $-\delta Q_A$ na $-\delta Q_B$ kwa mpangilio huo.

Andika mizani ya nishati ya vitalu na mashine katika mzunguko mdogo usio na kikomo. Kwa kutumia ufanisi wa Carnot, eleza $\delta Q_B$ kwa kutumia $\delta Q_A,T_A,T_B$ . Onyesha kuwa A hupoa na B hupata joto. Tofauti ya halijoto na ufanisi hubadilikaje katika mizunguko inayofuatana? Ni sharti gani linalomaliza uwezekano wa kutoa kazi?
Pata uhusiano kati ya $\mathrm dT_A/T_A$ na $\mathrm dT_B/T_B$ , kisha ukokotoe integrali yake kutoka hali ya awali. Pata kutokana nao halijoto ya pamoja ya mwisho $T_r$ . Kwa nini hatuwezi kuchukulia vitalu viwili kama thermostati zenye halijoto thabiti $T_{A,0}$ na $T_{B,0}$ ?
Hesabu jumla ya kazi inayopokelewa $W_{\mathrm{rev}}$ katika uendeshaji huu rejeshi, kisha thamani yake kamili $|W_{\mathrm{rev}}|$ , ambayo ni kazi kubwa zaidi inayoweza kupatikana nje. Rahisisha $T_r$ na $W_{\mathrm{rev}}$ wakati $C_A=C_B=C$ ; kisha andika $|W_{\mathrm{rev}}|$ katika umbo linaloonyesha wazi kuwa ni chanya.
Hesabu ya namba: vitalu vyote viwili ni vya chuma, kila kimoja chenye misa $m=1{,}0\ \mathrm{kg}$ , mwanzoni katika $60\,{}^\circ\mathrm C$ kwa A na $20\,{}^\circ\mathrm C$ kwa B. Chukulia uwezo wa joto wa chuma kwa kila kitengo cha misa kuwa thabiti, $c=450\ \mathrm{J\,kg^{-1}\,K^{-1}}$ . Hesabu kazi kubwa zaidi inayoweza kupatikana $|W_{\mathrm{rev}}|$ .

Kidokezo

Katika kila mzunguko mdogo usio na kikomo, ufanisi ni

1-T_B/T_A

kwa halijoto za wakati huo, na unaandikwa

|\delta W|/\delta Q_A

. Kwa mizani ya jumla, tumia

\Delta U=Q+W

kwa mkusanyiko «vitalu + mashine», ambapo

Q=0

na

W<0

.

Jibu la kina

Suluhisho

Swali 1. Vitalu havibadiliki umbo na havipokei kazi. Kwa hiyo mabadiliko ya nishati yake ni joto zinazopokelewa:

C_A\,\mathrm dT_A=-\delta Q_A,\qquad C_B\,\mathrm dT_B=-\delta Q_B.

Mashine hurudia hali yake ya awali. Mizani yake ya nishati inatoa $0=\delta Q_A+\delta Q_B+\delta W$ , yaani

\delta W=-(\delta Q_A+\delta Q_B)<0.

Ufanisi ni uwiano wa kazi inayopatikana kwa joto linalopokelewa kutoka A. Kwa kuwa $\delta W<0$ , tuna $|\delta W|=-\delta W$ , hivyo

\eta=\frac{|\delta W|}{\delta Q_A} =1+\frac{\delta Q_B}{\delta Q_A}=1-\frac{T_B}{T_A} \quad\Longrightarrow\quad \delta Q_B=-\frac{T_B}{T_A}\delta Q_A.

Kitalu A hupokea $-\delta Q_A<0$ na kitalu B hupokea $-\delta Q_B>0$ . Uwezo wa joto ni chanya, hivyo $\mathrm dT_A<0$ na $\mathrm dT_B>0$ . Kwa hiyo tofauti hupungua:

\mathrm d(T_A-T_B) =-\delta Q_A\left(\frac1{C_A}+\frac{T_B}{C_BT_A}\right)<0.

Uwiano $T_B/T_A$ unaongezeka, kwa kuwa kiasi cha juu kinaongezeka na cha chini kinapungua. Ufanisi $1-T_B/T_A$ hupungua hatua kwa hatua. Wakati $T_A=T_B$ , unakuwa sifuri: tofauti ya halijoto imeisha na hakuna injini ya mzunguko kati ya vitalu hivi inayoweza tena kutoa kazi.

Swali 2. Mizani ya vitalu inatoa

\delta Q_A=-C_A\,\mathrm dT_A

na

\delta Q_B=-C_B\,\mathrm dT_B

. Tuvibadilishe katika uhusiano uliotangulia:

-C_B\,\mathrm dT_B =-\frac{T_B}{T_A}(-C_A\,\mathrm dT_A) =\frac{T_B}{T_A}C_A\,\mathrm dT_A.

Kwa kubadilisha ishara, kisha kugawanya kwa $T_B$ ,

C_B\,\mathrm dT_B=-\frac{T_B}{T_A}C_A\,\mathrm dT_A, \qquad C_A\frac{\mathrm dT_A}{T_A} +C_B\frac{\mathrm dT_B}{T_B}=0.

Tukokotoe integrali kutoka halijoto za awali hadi zile zinazofikiwa baada ya idadi yoyote ya mizunguko:

C_A\int_{T_{A,0}}^{T_A}\frac{\mathrm dT}{T} +C_B\int_{T_{B,0}}^{T_B}\frac{\mathrm dT}{T}=0.

Dhima tangulizi ya $1/T$ ni $\ln T$ ; kuingiza mipaka kunatoa

C_A\ln\frac{T_A}{T_{A,0}}+C_B\ln\frac{T_B}{T_{B,0}}=0.

Uhusiano huu unaonyesha uhifadhi wa entropy ya jumla katika uendeshaji rejeshi. Mashine inaposimama, $T_A=T_B=T_r$ . Kwa kuandika $\ln(T_r/T_{B,0})=\ln(T_r/T_{A,0})+\ln(T_{A,0}/T_{B,0})$ ,

(C_A+C_B)\ln\frac{T_r}{T_{A,0}} =C_B\ln\frac{T_{B,0}}{T_{A,0}}.

Kugawanya kwa $C_A+C_B$ kisha kutumia dhima eksponenti kunatoa

\boxed{T_r=T_{A,0} \left(\frac{T_{B,0}}{T_{A,0}}\right)^{C_B/(C_A+C_B)}.}

Uwezo wa joto wa vitalu una ukomo: kila joto linalobadilishwa hubadili halijoto yake kulingana na $\mathrm dT=\delta Q_{\mathrm{block}}/C$ , ambapo $\delta Q_{\mathrm{block}}$ ni joto linalopokelewa na kitalu kinachozingatiwa. Kwa hiyo ufanisi wa awali hauendelei kutumika katika jaribio lote. Ukadiriaji wa halijoto thabiti unatumika katika kila mzunguko mdogo usio na kikomo pekee, kwa halijoto mpya kila mara.

Swali 3. Mkusanyiko «vitalu + mashine» ni adiabati, lakini hutoa kazi: haujatengwa. Kwa kuwa mashine haihifadhi nishati, kanuni ya kwanza inatoa

C_A(T_r-T_{A,0})+C_B(T_r-T_{B,0})=W_{\mathrm{rev}}.

Kazi inayopokelewa na mkusanyiko ni ile inayopokelewa na mashine. Kwa kupanga vijenzi pamoja,

W_{\mathrm{rev}}=(C_A+C_B)T_r-C_AT_{A,0}-C_BT_{B,0}<0.

Kazi inayopatikana nje ni thamani yake kamili:

\boxed{|W_{\mathrm{rev}}|=-W_{\mathrm{rev}} =C_AT_{A,0}+C_BT_{B,0}-(C_A+C_B)T_r.}

Kila zao $CT$ lina kitengo cha nishati, joule. Ili kuelewa kwa nini urejeshi unatoa upeo, fikiria mashine inayozalisha entropy na kufikisha vitalu katika halijoto ya pamoja $T_*$ . Mizani ya entropy ya vitalu inaweka

C_A\ln\frac{T_*}{T_{A,0}}+C_B\ln\frac{T_*}{T_{B,0}}\geq0.

Kwa kutoa mizani rejeshi, iliyo sawa na sifuri, inabaki $(C_A+C_B)\ln(T_*/T_r)\geq0$ , hivyo $T_*\geq T_r$ . Kazi inayopokelewa katika uendeshaji huu wa injini ni $W_*=(C_A+C_B)T_*-C_AT_{A,0}-C_BT_{B,0}$ , hivyo

W_*-W_{\mathrm{rev}}=(C_A+C_B)(T_*-T_r)\geq0.

Hivyo $W_{\mathrm{rev}}\leq W_*\leq0$ : kazi inayopokelewa ina thamani hasi zaidi katika hali rejeshi. Kwa hiyo thamani yake kamili ni ya upeo, $|W_*|\leq|W_{\mathrm{rev}}|$ .

Kwa

C_A=C_B=C

, kipeo ni

1/2

, hivyo

T_r=T_{A,0}\sqrt{\frac{T_{B,0}}{T_{A,0}}} =\sqrt{T_{A,0}T_{B,0}}, W_{\mathrm{rev}}=-C\left(\sqrt{T_{A,0}}-\sqrt{T_{B,0}}\right)^2<0, |W_{\mathrm{rev}}|=C\left(T_{A,0}+T_{B,0} -2\sqrt{T_{A,0}T_{B,0}}\right) =C\left(\sqrt{T_{A,0}}-\sqrt{T_{B,0}}\right)^2>0.

Tunatambua utambulisho $a^2+b^2-2ab=(a-b)^2$ . Kazi inakuwa sifuri ikiwa halijoto za awali ni sawa.

Swali 4. Uwezo uliotolewa ni kwa kila kitengo cha misa. Kwa hiyo uwezo wa jumla wa kila kitalu ni

C=mc=1{,}0\times450=450\ \mathrm{J\,K^{-1}}.

Halijoto zilizo chini ya mizizi lazima zielezwe katika kelvini:

T_{A,0}=60+273{,}15=333{,}15\ \mathrm K,\qquad T_{B,0}=20+273{,}15=293{,}15\ \mathrm K.

Kwa kuingiza katika matokeo ya swali la 3,

|W_{\mathrm{rev}}| =450\left(\sqrt{333{,}15}-\sqrt{293{,}15}\right)^2 \simeq575\ \mathrm J=0{,}575\ \mathrm{kJ}.

Kwa hiyo kazi kubwa zaidi inayoweza kupatikana ni takribani $0{,}58\ \mathrm{kJ}$ . Kwa kanuni ya mabenki, kazi inayopokelewa na mashine ni $W_{\mathrm{rev}}\simeq-575\ \mathrm J$ : ishara hasi inaonyesha kuwa inatoa nishati hiyo kwa mazingira.