Zoezi la thermodynamiki lililofanyiwa kazi

Kunyoosha waya nyumbufu

Zoezi 12 · Somo 4 — Kanuni ya Kwanza ya Thermodynamiki

kazi ya jumla
waya nyumbufu
nguvu ya kuvuta
kanuni ya kwanza

Swali

Waya wenye urefu wa asili $L_{0}$ (bila mzigo) unanyooshwa polepole, bila histeresisi, kutoka $L_{A}$ hadi $L_{B}$ , ambapo $L_{0} \leq L_{A} < L_{B}$ . Katika masafa yanayochunguzwa, mvutano wake wa usawa hufuata sheria

F = K (L - L_{0}),

ambapo $K > 0$ ni ukakamavu thabiti usiotegemea halijoto. Katika kila hatua, nguvu ya nje ya kuvuta husawazisha mvutano wa waya. Tunatumia kielelezo kifuatacho cha nishati ya ndani:

U (T, L) = C (T - T_{⋆}) + \frac{1}{2} K (L - L_{0})^{2} + U_{⋆},

ambapo $C$ ni uwezo wa jumla wa joto ulio thabiti, na $T_{⋆}, U_{⋆}$ ni thamani za marejeo zisizobadilika. Mabadiliko ya nishati ya kinetiki na ya nishati ya potenshali ya uvutano yanapuuzwa.

Chora waya, ncha yake iliyofungwa, ncha inayosogea na nguvu ya nje ya kuvuta. Andika kazi ndogo inayopokelewa kwa badiliko $d L$ , kisha kokotoa $W_{A \to B}$ .
Unyooshaji ni wa isothermi. Kokotoa $Δ U$ na joto $Q_{A \to B}$ linalopokelewa katika kielelezo hiki. Je, kwa ujumla, mabadiliko ya isothermi hulazimisha $Δ U = 0$ ?
Waya unarudishwa kutoka $L_{B}$ hadi $L_{A}$ kwa kufuata sheria ileile ya mvutano. Kokotoa kazi inayopokelewa katika njia hii ya kurudi na katika safari nzima ya kwenda na kurudi. Kwa nini tokeo hili halimaanishi kwamba kila kazi ni dhima ya hali?

Kidokezo

Tumia

δ W = F_{ext} d L

na ukokotoe integrali ya nguvu inayobadilika. Kisha linganisha na tofauti ya nishati ya ndani inayotolewa na kielelezo, ukitumia

Δ U = Q + W

Jibu la kina

Suluhisho

Swali la 1. Katika mchoro, ncha ya kushoto imefungwa. Ncha ya kulia inavutwa na nguvu inayoelekea kulia; uhamisho wake ni

d L

. Kazi inayopokelewa na waya ni chanya unaporefuka:

δ W = F_{ext} d L = K (L - L_{0}) d L .

Nguvu si thabiti. Kwa hiyo lazima tukokotoe

W_{A \to B} = \int_{L_{A}}^{L_{B}} K (L - L_{0}) d L = [\frac{K}{2} (L - L_{0})^{2}]_{L_{A}}^{L_{B}} = \frac{K}{2} [(L_{B} - L_{0})^{2} - (L_{A} - L_{0})^{2}] > 0.

Kipimo cha ukakamavu ni $N m^{- 1}$ : kwa hiyo $K (L - L_{0})^{2}$ hupimwa kwa $N m$ , yaani kwa jouli.

Swali la 2. Kwa kuwa

T_{B} = T_{A}

, sehemu ya joto haibadiliki. Thamani thabiti za marejeo nazo hufutika, hivyo

Δ U = C (T_{B} - T_{A}) + \frac{K}{2} [(L_{B} - L_{0})^{2} - (L_{A} - L_{0})^{2}] = W_{A \to B} .

Kanuni ya kwanza basi inatoa $Q_{A \to B} = Δ U - W_{A \to B} = 0$ . Katika kielelezo hiki bora, kazi inayopokelewa huhifadhiwa kama nishati nyumbufu. Halijoto hubaki thabiti, lakini nishati ya ndani huongezeka: kwa hiyo hali ya isothermi hailazimishi $Δ U = 0$ . Tokeo $Q = 0$ linategemea hapa kielelezo kilichochaguliwa na halihusu nyenzo zote.

Swali la 3. Kubadilishana mipaka ya integrali hubadilisha ishara yake:

W_{B \to A} = \int_{L_{B}}^{L_{A}} K (L - L_{0}) d L = [\frac{K}{2} (L - L_{0})^{2}]_{L_{B}}^{L_{A}} = - W_{A \to B} .

Kwa hiyo kazi inayopokelewa katika safari ya kwenda na kurudi ni sifuri. Waya hurudisha kazi iliyohifadhiwa. Hapa, sheria iliyowekwa hufanya kazi iwe sawa na badiliko la nishati nyumbufu, ambayo ni dhima ya $L$ . Hii ni sifa ya kielelezo hiki kisicho na histeresisi na ya familia hii ya mabadiliko, si sifa ya jumla ya uhamisho wa kazi.