Gesi mbili zilizotenganishwa na ukuta wa ndani

Swali 1. Mchoro unaonyesha chombo kigumu chenye ujazo wa jumla $2V$, kilichogawanywa na ukuta. Kushoto: $(n_1,T_1,V,P_0)$; kulia: $(3n_1,T_1/2,V,P_{2,i})$. Kuta za nje ni adiabati. Ukuta wa ndani usiposogea, usipopitisha maada na ukiwa adiabati, hakuna ubadilishanaji unaoruhusiwa: kila gesi huhifadhi hali yake hata ikiwa halijoto na shinikizo ni tofauti. Kizuizi cha ukuta hubeba tofauti ya shinikizo.

Swali 2 — Hesabu ya kialjebra. Mlinganyo wa gesi bora unatoa

$$P_{1,i}=\frac{n_1RT_1}{V}=P_0, \qquad P_{2,i}=\frac{3n_1R(T_1/2)}{V}=\frac32P_0.$$

Swali 3 — Ukuta usiosogea unaopitisha joto. Wakati wa uhamishaji mdogo wa nishati wenye $\mathrm{d}U_2=-\mathrm{d}U_1$, ujazo hubaki thabiti: kwa kila gesi, $\mathrm dS_j=\mathrm dU_j/T_j$. Kwa kujumlisha,

$$\mathrm dS_{\mathrm{tot}}=\frac{\mathrm dU_1}{T_1} +\frac{\mathrm dU_2}{T_2} =\frac{\mathrm dU_1}{T_1}-\frac{\mathrm dU_1}{T_2}.$$

Halijoto katika badiliko hili ni zile za hali inayozingatiwa. Kwa kutoa kigezo cha pamoja,

$$\mathrm{d}S_{\mathrm{tot}} =\left(\frac1{T_1}-\frac1{T_2}\right)\mathrm{d}U_1.$$

Katika usawa, entropy ni ya upeo; mgawo wa $\mathrm{d}U_1$ lazima uwe sifuri, hivyo $T_{1,f}=T_{2,f}=T_f$. Uhifadhi wa nishati unatoa

$$n_1\frac32R(T_f-T_1) +3n_1\frac32R\left(T_f-\frac{T_1}{2}\right)=0,$$

Kwa kugawanya mizani ya nishati kwa $(3/2)n_1R$, tunapata

$$(T_f-T_1)+3\left(T_f-\frac{T_1}{2}\right)=0, \quad 4T_f-\frac52T_1=0, \quad T_f=\frac58T_1.$$

Kisha $P_{1,f}=n_1RT_f/V=(T_f/T_1)P_0$ na $P_{2,f}=3n_1RT_f/V=3(T_f/T_1)P_0$, hivyo

$$T_f=\frac58T_1, \qquad P_{1,f}=\frac58P_0, \qquad P_{2,f}=\frac{15}{8}P_0.$$

Kwa kuwa ukuta hausogei, usawa wa kimitambo hauhitajiki: shinikizo za mwisho zinaweza kutofautiana.

Swali 4 — Mizani ya entropy. Gesi ya 2 hupokea nishati ifuatayo kama joto pekee:

$$Q_{1\to2}=\Delta U_2 =3n_1\frac32R\left(\frac58T_1-\frac12T_1\right) =\frac9{16}n_1RT_1.$$

Gesi ya 1 hupokea joto lenye ishara ya kinyume: $Q_1=-Q_{1\to2}<0$, huku $Q_2=Q_{1\to2}>0$. Ukuta hausogei, hivyo $W_1=W_2=0$. Mfumo mzima umetengwa, kwa hiyo $S_{\mathrm{e}}=0$ na $S_{\mathrm{i}}=\Delta S_{\mathrm{tot}}$. Kwa kuwa ujazo ni thabiti,

$$\Delta S_1=\frac32n_1R\ln\frac{T_f}{T_1} =\frac32n_1R\ln\frac58, \Delta S_2=\frac32(3n_1)R\ln\frac{T_f}{T_1/2} =\frac92n_1R\ln\frac54.$$

Gesi ya 1 hupoteza entropy na gesi ya 2 huipata. Jumla yake ni

$$S_{\mathrm{i}} =\frac32n_1R\left[ \ln\!\left(\frac58\right) +3\ln\!\left(\frac54\right) \right]>0.$$

Uzalishaji huu wa entropy unaonyesha uhamishaji wa hiari wa joto kati ya gesi mbili zenye halijoto tofauti mwanzoni. Ili kuthibitisha ishara bila thamani za namba, tuunganishe logarithi:

$$\ln\frac58+3\ln\frac54 =\ln\left[\frac58\left(\frac54\right)^3\right] =\ln\frac{625}{512}>0.$$

Swali 5 — Ukuta unaosogea na kupitisha joto. Kwa $\mathrm{d}U_2=-\mathrm{d}U_1$ na $\mathrm{d}V_2=-\mathrm{d}V_1$,

$$\mathrm{d}S_{\mathrm{tot}} =\left(\frac1{T_1}-\frac1{T_2}\right)\mathrm{d}U_1 +\left(\frac{P_1}{T_1}-\frac{P_2}{T_2}\right)\mathrm{d}V_1.$$

Ukuta unaruhusu ugawaji upya wa nishati na ujazo kwa kujitegemea. Kwa hiyo sharti la utuli lazima litimizwe kwa kila $\mathrm dU_1$ na kila $\mathrm dV_1$: migawo yote miwili inakuwa sifuri. Wa kwanza unaweka $T_{1,f}=T_{2,f}$; wa pili basi unatoa $P_{1,f}/T_f=P_{2,f}/T_f$, yaani $P_{1,f}=P_{2,f}$. Uhifadhi wa nishati bado unatoa $T_f=5T_1/8$. Kwa shinikizo na halijoto sawa, ujazo hulingana moja kwa moja na kiasi cha maada. Kwa kuwa jumla yake ni $2V$,

$$\frac{V_{2,f}}{V_{1,f}}=\frac{3n_1RT_f/P_f}{n_1RT_f/P_f}=3, \qquad V_{1,f}+3V_{1,f}=2V.$$

Hivyo $V_{1,f}=V/2$ na $V_{2,f}=3V/2$. Shinikizo la pamoja linapatikana kwa $P_f=n_1R(5T_1/8)/(V/2)=(5/4)P_0$, yaani

$$V_{1,f}=\frac V2, \qquad V_{2,f}=\frac{3V}{2}, \qquad P_f=\frac54P_0.$$

Mabadiliko ya nishati ya ndani ni yale yale kama kwa ukuta usiosogea, lakini hapa nishati hubadilishwa kama joto na kazi. Mizani ya entropy ina vijenzi vilevile vya halijoto kama katika swali la 4, ambavyo lazima viongezwe vijenzi vya ujazo:

$$\Delta S_1=\frac32n_1R\ln\frac58+n_1R\ln\frac{V/2}{V}, \Delta S_2=\frac92n_1R\ln\frac54+3n_1R\ln\frac{3V/2}{V}.$$

Kwa kujumlisha, tunapata

$$S_{\mathrm{i}}=\Delta S_{\mathrm{tot}} =\frac32n_1R\left[ \ln\!\left(\frac58\right)+3\ln\!\left(\frac54\right) \right] +n_1R\left[ \ln\!\left(\frac12\right)+3\ln\!\left(\frac32\right) \right]>0.$$

Ziada ikilinganishwa na ukuta usiosogea ni

$$n_1R\left[\ln\frac12+3\ln\frac32\right] =n_1R\ln\left[\frac12\left(\frac32\right)^3\right] =n_1R\ln\frac{27}{16}>0.$$

Kwa hiyo kuruhusu ukuta kusogea huongeza entropy ya mwisho inayoweza kufikiwa.