Решённая задача по термодинамике

Работа, необходимая для растяжения мыльной плёнки

Задача 13 · Урок 4 — Первое начало термодинамики

поверхностное натяжение
обобщённая работа
граница раздела
мыльная плёнка

Условие

Плоская мыльная плёнка натянута на прямоугольную рамку, одна из перекладин которой, длиной $ℓ$ , может скользить без трения. Расстояние $x$ между этой перекладиной и противоположной стороной рамки увеличивается от $x_{A}$ до $x_{B}$ . Плёнка имеет две границы раздела «воздух–жидкость», каждая с поверхностным натяжением $γ$ , которое считается постоянным. Краевыми эффектами, весом и работой сил давления пренебрегаем; объём жидкости постоянен, и обмена жидкостью нет. Перемещение достаточно медленное, чтобы сохранялось механическое равновесие. При создании границы раздела получаемая работа записывается как $δ W = γ d A$ , где $A$ — полная площадь границ раздела.

Изобразите рамку и перекладину, укажите $x$ , $ℓ$ и направление внешней растягивающей силы. Выразите $A (x)$ , а затем $d A$ .
Найдите необходимую внешнюю силу и вычислите работу, получаемую при изменении $x$ от $x_{A}$ до $x_{B}$ .
Вычислите эту силу и эту работу при $γ = 30 mN m^{- 1}$ , $ℓ = 5, 0 cm$ и $x_{B} - x_{A} = 2, 0 cm$ . К какой ошибке привело бы то, что одну из сторон плёнки забыли учесть?
Температура плёнки поддерживается постоянной термостатом. Достаточно ли знать только $γ$ и изменение площади, чтобы определить $Δ U$ и $Q$ ?

Подсказка

Площадь каждой стороны равна

ℓ x

. Приравняйте работу

F_{ext} d x

работе создания двух границ раздела. В последнем вопросе различайте полученную работу и запасённую энергию.

Подробное решение

Решение

Вопрос 1. Изобразим рамку в плоскости плёнки, подвижную перекладину — перпендикулярно направлению

x

, а внешнюю растягивающую силу — в сторону возрастания

x

. Площадь каждой стороны равна

ℓ x

. Поэтому полная площадь и её изменение равны

A = 2 ℓ x, d A = 2 ℓ d x,

так как $ℓ$ постоянна. Две границы раздела различны, хотя на рисунке при виде спереди они накладываются друг на друга.

Вопрос 2. Получаемую работу можно записать двумя способами:

δ W = F_{ext} d x = γ d A = 2 γ ℓ d x .

Сравнение даёт $F_{ext} = 2 γ ℓ$ . Сила со стороны плёнки противодействует этому растяжению. Поскольку $γ$ и $ℓ$ постоянны,

W_{A \to B} = \int_{x_{A}}^{x_{B}} 2 γ ℓ d x = 2 γ ℓ [x]_{x_{A}}^{x_{B}} = 2 γ ℓ (x_{B} - x_{A}) > 0.

Для увеличения площади плёнки необходимо совершить над ней работу.

Вопрос 3. В единицах СИ

γ = 30 \times 1 0^{- 3} N m^{- 1}

ℓ = 5, 0 \times 1 0^{- 2} m

x_{B} - x_{A} = 2, 0 \times 1 0^{- 2} m

. Таким образом,

F_{ext} = 2 (30 \times 1 0^{- 3}) (5, 0 \times 1 0^{- 2}) = 3, 0 \times 1 0^{- 3} N, W_{A \to B} = (3, 0 \times 1 0^{- 3}) (2, 0 \times 1 0^{- 2}) = 6, 0 \times 1 0^{- 5} J = 60 μ J .

Единицы согласованы: $γ ℓ$ — это сила, а $γ Δ A$ — энергия. Если забыть одну сторону, сила и работа ошибочно уменьшились бы вдвое.

Вопрос 4. Первое начало требует лишь, чтобы

Δ U = Q + γ Δ A .

Термостат может отдавать или получать теплоту, поддерживая температуру. Без модели внутренней энергии плёнки неизвестны ни $Δ U$ , ни $Q$ . Поэтому нельзя автоматически отождествлять $γ Δ A$ с изменением внутренней энергии или выводить $Q = 0$ из изотермичности.