Решённая задача по термодинамике

Растяжение упругой нити

Задача 12 · Урок 4 — Первое начало термодинамики

обобщённая работа
упругая нить
растяжение
первое начало

Условие

Нить с длиной в недеформированном состоянии $L_{0}$ медленно и без гистерезиса растягивают от $L_{A}$ до $L_{B}$ , причём $L_{0} \leq L_{A} < L_{B}$ . В рассматриваемой области равновесное натяжение нити подчиняется закону

F = K (L - L_{0}),

где $K > 0$ — постоянная жёсткость, не зависящая от температуры. На каждом этапе внешняя растягивающая сила уравновешивает натяжение нити. Принимается следующая модель внутренней энергии:

U (T, L) = C (T - T_{⋆}) + \frac{1}{2} K (L - L_{0})^{2} + U_{⋆},

где $C$ — постоянная полная теплоёмкость, а $T_{⋆}, U_{⋆}$ — фиксированные опорные значения. Изменениями кинетической энергии и потенциальной энергии в поле тяжести пренебрегаем.

Изобразите нить, её закреплённую точку, подвижный конец и внешнюю растягивающую силу. Запишите элементарную работу, получаемую при изменении длины на $d L$ , затем вычислите $W_{A \to B}$ .
Растяжение изотермическое. Вычислите $Δ U$ и теплоту $Q_{A \to B}$ , полученную в этой модели. Следует ли в общем случае из изотермичности процесса, что $Δ U = 0$ ?
Нить возвращают от $L_{B}$ к $L_{A}$ по тому же закону натяжения. Вычислите работу, полученную на обратном пути и за весь цикл «туда и обратно». Почему этот результат не означает, что любая работа является функцией состояния?

Подсказка

Используйте

δ W = F_{ext} d L

и проинтегрируйте переменную силу. Затем сравните результат с изменением внутренней энергии, которое даёт модель, используя

Δ U = Q + W

Подробное решение

Решение

Вопрос 1. На рисунке левый конец закреплён. К правому концу приложена растягивающая сила, направленная вправо; его перемещение равно

d L

. Работа, получаемая нитью, положительна, когда нить удлиняется:

δ W = F_{ext} d L = K (L - L_{0}) d L .

Сила не постоянна, поэтому необходимо вычислить

W_{A \to B} = \int_{L_{A}}^{L_{B}} K (L - L_{0}) d L = [\frac{K}{2} (L - L_{0})^{2}]_{L_{A}}^{L_{B}} = \frac{K}{2} [(L_{B} - L_{0})^{2} - (L_{A} - L_{0})^{2}] > 0.

Жёсткость измеряется в $N m^{- 1}$ , поэтому $K (L - L_{0})^{2}$ выражается в $N m$ , то есть в джоулях.

Вопрос 2. Поскольку

T_{B} = T_{A}

, тепловой член не изменяется. Опорные постоянные также сокращаются, откуда

Δ U = C (T_{B} - T_{A}) + \frac{K}{2} [(L_{B} - L_{0})^{2} - (L_{A} - L_{0})^{2}] = W_{A \to B} .

Тогда первое начало даёт $Q_{A \to B} = Δ U - W_{A \to B} = 0$ . В этой идеальной модели полученная работа запасается в виде упругой энергии. Температура остаётся постоянной, но внутренняя энергия возрастает: следовательно, изотермичность не влечёт $Δ U = 0$ . Результат $Q = 0$ определяется здесь принятой моделью и не распространяется на все материалы.

Вопрос 3. Перестановка пределов меняет знак интеграла:

W_{B \to A} = \int_{L_{B}}^{L_{A}} K (L - L_{0}) d L = [\frac{K}{2} (L - L_{0})^{2}]_{L_{B}}^{L_{A}} = - W_{A \to B} .

Таким образом, работа, полученная за цикл «туда и обратно», равна нулю. Нить отдаёт запасённую работу. Здесь заданный закон натяжения делает работу равной изменению упругой энергии, которая является функцией $L$ . Это свойство данной модели без гистерезиса и данного семейства процессов, а не общее свойство передачи энергии в форме работы.