Решённая задача по термодинамике

Поступательное движение, вращение и тепловое движение

Задача 14 · Урок 4 — Первое начало термодинамики

теорема Кёнига
вращение
кинетическая энергия
внутренняя энергия
трение

Условие

Система из $N$ частиц с массами $m_{i}$ имеет полную массу $M$ , а её центр масс — радиус-вектор $R$ и скорость $V$ . Обозначим $ρ_{i} = r_{i} - R$ и разложим скорости:

v_{i} = V + ω \times ρ_{i} + u_{i}^{'} .

Общая угловая скорость $ω$ выбрана так, чтобы остаточное движение не несло никакого суммарного момента импульса:

i \sum m_{i} u_{i}^{'} = 0, i \sum m_{i} ρ_{i} \times u_{i}^{'} = 0 .

Примем без доказательства тождество $\sum_{i} m_{i} ∣ ω \times ρ_{i} ∣^{2} = ω \cdot I_{CM} ω$ , где $I_{CM}$ — тензор инерции относительно центра масс.

Раскройте $E_{kin} = \frac{1}{2} \sum_{i} m_{i} v_{i}^{2}$ и покажите, что три перекрёстных члена равны нулю. Выведите отсюда разложение на поступательное движение, общее вращение и остаточное движение.
При соглашении, что общее поступательное движение и общее вращение считаются макроскопическими движениями, какая кинетическая энергия входит во внутреннюю энергию? Достаточно ли перейти в систему отсчёта центра масс, чтобы осталось только тепловое движение?
Однородный диск массы $M$ и радиуса $R$ с неподвижной осью вначале вращается с угловой скоростью $ω_{0}$ . Его момент инерции равен $I = M R^{2} /2$ . Тормоз останавливает диск. Система «диск и тормоз» теплоизолирована; её неподвижные опоры не совершают работы. Вся рассеянная энергия остаётся в этой системе, полная теплоёмкость которой постоянна и равна $C$ . Найдите изменение её внутренней энергии и повышение её температуры.
Вычислите преобразованную энергию и повышение температуры при $M = 2, 0 kg$ , $R = 0, 10 m$ , $ω_{0} = 100 rad s^{- 1}$ и $C = 500 J K^{- 1}$ . Пересекла ли эта энергия границу системы в форме теплоты?

Подсказка

Используйте

\sum_{i} m_{i} ρ_{i} = 0

и тождество для смешанного произведения

(ω \times ρ_{i}) \cdot u_{i}^{'} = ω \cdot (ρ_{i} \times u_{i}^{'})

. При торможении сохраняется

U + E_{kin}^{macro}

Подробное решение

Решение

Вопрос 1. По определению центра масс

\sum_{i} m_{i} r_{i} = M R

. Следовательно,

i \sum m_{i} ρ_{i} = i \sum m_{i} r_{i} - M R = 0 .

Раскрывая каждый квадрат, получаем

E_{kin} = \frac{1}{2} M V^{2} + \frac{1}{2} i \sum m_{i} ∣ ω \times ρ_{i} ∣^{2} + \frac{1}{2} i \sum m_{i} u_{i}^{'}^{2} + V \cdot (ω \times i \sum m_{i} ρ_{i}) + V \cdot i \sum m_{i} u_{i}^{'} + i \sum m_{i} (ω \times ρ_{i}) \cdot u_{i}^{'} .

Первый перекрёстный член обращается в нуль в силу определения центра масс. Второй равен нулю, потому что остаточный импульс равен нулю. Для третьего смешанное произведение даёт

i \sum m_{i} (ω \times ρ_{i}) \cdot u_{i}^{'} = ω \cdot i \sum m_{i} (ρ_{i} \times u_{i}^{'}) = 0.

С учётом приведённого тождества для тензора инерции остаётся

E_{kin} = \frac{1}{2} M V^{2} + \frac{1}{2} ω \cdot I_{CM} ω + \frac{1}{2} i \sum m_{i} u_{i}^{'}^{2}

Вопрос 2. При этом соглашении кинетический вклад во внутреннюю энергию — последний член, $\frac{1}{2} \sum_{i} m_{i} u_{i}^{'}^{2}$ . Внутренняя энергия включает также внутренние потенциальные энергии и, возможно, другие внутренние степени свободы. Переход в систему отсчёта центра масс устраняет поступательный член, но оставляет член общего вращения. Так, диск, вращающийся вокруг неподвижной оси, обладает макроскопической кинетической энергией, даже если его центр масс неподвижен.

Вопрос 3. Теплота и работа, пересекающие границу системы «диск и тормоз», равны нулю. Силы со стороны опор могут передавать момент импульса, но их неподвижные точки приложения не передают работы. Пренебрегая любыми другими изменениями макроскопической энергии, из закона сохранения получаем

Δ U + Δ E_{rotation} = 0.

Диск останавливается, поэтому $Δ E_{rotation} = 0 - \frac{1}{2} I ω_{0}^{2}$ . Следовательно,

Δ U = \frac{1}{2} I ω_{0}^{2} = \frac{1}{4} M R^{2} ω_{0}^{2} > 0.

После установления внутреннего теплового равновесия модель постоянной теплоёмкости даёт $Δ U = C (T_{f} - T_{i})$ , то есть

T_{f} - T_{i} = \frac{M R ^{2} ω _{0}^{2}}{4 C} .

Трение превращает энергию упорядоченного движения во внутреннюю энергию внутри системы.

Вопрос 4. Момент инерции равен

I = 2, 0 (0, 10)^{2} /2 = 0, 010 kg m^{2}

. Получаем

Δ U = \frac{1}{2} (0, 010) (100)^{2} = 50 J, T_{f} - T_{i} = \frac{50}{500} = 0, 10 K .

Система нагревается, хотя $Q = 0$ : эта энергия не пересекала её границу в форме теплоты. Изначально она присутствовала в виде кинетической энергии вращения.