Решённая задача по термодинамике

Сборка однородного гравитирующего шара

Задача 15 · Урок 4 — Первое начало термодинамики

гравитация
энергия взаимодействия
однородный шар
экстенсивность
дальнодействие

Условие

Шар радиуса $R$ содержит массу $M$ , распределённую равномерно с плотностью $ρ_{m}$ . Требуется вычислить его гравитационную потенциальную энергию $U_{grav}$ , принимая её равной нулю, когда элементы массы бесконечно удалены друг от друга.

Представим, что шар собирают концентрическими слоями, сохраняя одну и ту же плотность. На том этапе, когда радиус достиг $r$ , уже собранная масса равна $M (r)$ , и из бесконечности приносят сферический слой массы $d M$ . Примем, что потенциал, создаваемый внутренней массой на её поверхности, равен $- GM (r) / r$ . Расчёт касается только гравитационной энергии; никакого механического равновесия шара не предполагается.

Изобразите уже собранный шар и добавляемый слой между $r$ и $r + d r$ . Выразите $ρ_{m}$ , $M (r)$ и $d M$ через $M, R, r$ и $d r$ .
Выразите энергию взаимодействия слоя с внутренним шаром, затем проинтегрируйте, чтобы получить $U_{grav}$ . Нужно ли делить результат на два?
Шар содержит $N$ частиц массы $m$ , так что $M = N m$ . При фиксированной плотности $ρ_{m}$ выразите $R$ через $N$ , затем найдите зависимость $U_{grav}$ и $U_{grav} / N$ от $N$ .
Сравните энергию шара из $2 N$ частиц с суммой энергий двух шаров по $N$ частиц, бесконечно удалённых друг от друга, при одной и той же плотности. Прокомментируйте знак разности и экстенсивность.

Подсказка

Объём слоя равен

4 π r^{2} d r

. Его энергия взаимодействия с уже имеющейся массой равна

d U_{grav} = - GM (r) d M / r

. При таком подсчёте каждая пара учитывается в тот момент, когда добавляется её внешняя часть.

Подробное решение

Решение

Вопрос 1. На рисунке изображён шар радиуса

r

и массы

M (r)

, окружённый слоем толщины

d r

; указан конечный радиус

R

. Однородность плотности даёт

ρ_{m} = \frac{M}{4 π R ^{3} /3} = \frac{3 M}{4 π R ^{3}}, M (r) = ρ_{m} \frac{4 π r ^{3}}{3} = M \frac{r ^{3}}{R ^{3}} .

Поэтому добавляемая масса равна

d M = 4 π ρ_{m} r^{2} d r = \frac{3 M}{R ^{3}} r^{2} d r .

Вопрос 2. Гравитационный потенциал — это энергия на единицу массы. Умножая его на приносимую массу, находим

d U_{grav} = - \frac{GM ( r )}{r} d M = - \frac{G}{r} \frac{M r ^{3}}{R ^{3}} \frac{3 M r ^{2}}{R ^{3}} d r = - \frac{3 G M ^{2}}{R ^{6}} r^{4} d r .

Интегрирование ведётся по всем радиусам сборки:

U_{grav} = - \frac{3 G M ^{2}}{R ^{6}} \int_{0}^{R} r^{4} d r = - \frac{3 G M ^{2}}{R ^{6}} [\frac{r ^{5}}{5}]_{0}^{R} = - \frac{3 G M ^{2}}{R ^{6}} \frac{R ^{5}}{5} = - \frac{3 G M ^{2}}{5 R} .

Каждое взаимодействие нового слоя с внутренним слоем учитывается только один раз. Поэтому множитель $1/2$ добавлять не нужно. Собственная энергия бесконечно тонкого слоя имеет порядок $(d M)^{2}$ и в непрерывном пределе не даёт вклада в интеграл. Знак минус отражает притяжение: чтобы разделить массы, необходимо затратить энергию. Наконец, $G M^{2} / R$ действительно имеет размерность джоуля.

Вопрос 3. При фиксированной плотности

\frac{4 π R ^{3}}{3} = \frac{N m}{ρ _{m}}, R = (\frac{3 m}{4 π ρ _{m}})^{1/3} N^{1/3} .

Подставляя $M$ и $R$ в выражение для энергии, получаем

U_{grav} = - \frac{3}{5} G m^{2} (\frac{4 π ρ _{m}}{3 m})^{1/3} \frac{N ^{2}}{N ^{1/3}} = - a_{g} N^{5/3},

где $a_{g} = \frac{3}{5} G m^{2} (4 π ρ_{m} / (3 m))^{1/3} > 0$ не зависит от $N$ . Следовательно, энергия на одну частицу равна $U_{grav} / N = - a_{g} N^{2/3}$ . Её абсолютная величина растёт с размером системы: она не остаётся интенсивной.

Вопрос 4. Энергия большого шара равна

U_{grav} (2 N) = - a_{g} 2^{5/3} N^{5/3}

. Для двух бесконечно удалённых шаров взаимная энергия взаимодействия равна нулю, и сумма составляет

2 U_{grav} (N) = - 2 a_{g} N^{5/3}

. Разность равна

U_{grav} (2 N) - 2 U_{grav} (N) = - a_{g} (2^{5/3} - 2) N^{5/3} < 0.

Большой шар сильнее гравитационно связан. Само по себе это сравнение состояний не описывает динамику их объединения. Оно показывает, что $U_{grav} (2 N) \neq = 2 U_{grav} (N)$ : гравитационная энергия не экстенсивна. Закон сохранения энергии при этом не ставится под сомнение; экстенсивность — дополнительное предположение, которое не выполняется для этого дальнодействующего взаимодействия.