Решённая задача по термодинамике

Заряженный шар и вопрос об экстенсивности

Задача 16 · Урок 4 — Первое начало термодинамики

кулоновское взаимодействие
электростатическая энергия
экстенсивность
электронейтральность

Условие

Полный заряд $Q > 0$ равномерно распределён по объёму шара радиуса $R$ в вакууме. Это распределение удерживается связями; здесь учитывается только его электростатическая энергия $U_{el}$ . Речь идёт не о проводящем шаре, заряды которого в равновесии расположились бы на поверхности.

Распределение собирают, принося заряженные сферические слои из бесконечности. Если в шаре радиуса $r$ уже собран заряд $Q (r)$ , потенциал на поверхности равен $Φ (r) = k_{e} Q (r) / r$ , где $k_{e} = 1/ (4 π ε_{0})$ . Энергия равна нулю для бесконечно удалённых друг от друга элементов заряда.

Изобразите один этап сборки. Выразите $Q (r)$ и $d Q$ через $Q, R, r$ и $d r$ , затем вычислите $U_{el}$ .
В непрерывной модели из $N$ частиц с одинаковым зарядом $q_{0}$ положим $Q = N q_{0}$ . При фиксированной концентрации частиц запишите $R = r_{0} N^{1/3}$ и найдите зависимость энергии от $N$ . Сравните её знак и степень однородности с гравитационным случаем.
При фиксированном полном заряде вычислите изменение энергии при расширении от $R_{A}$ до $R_{B} > R_{A}$ . Каков знак полученной внешней работы, если это расширение квазистатическое и происходит без диссипации? Выражение для этой работы описывает только электрический вклад.
Для зарядов разных знаков микроскопическая энергия взаимодействия записывается как $U_{el} = k_{e} i < j \sum \frac{q _{i} q _{j}}{r _{ij}} .$
Почему закон, полученный для шара с зарядом одного знака, не доказывает, что всякое обычное вещество неэкстенсивно? Достаточно ли нулевого полного заряда, чтобы эта сумма обратилась в нуль?

Подсказка

Используйте

d U_{el} = Φ (r) d Q

. При построении слоями каждая пара учитывается один раз. В последнем вопросе рассмотрите простую пару зарядов

+ q_{0}

- q_{0}

, находящихся на расстоянии

a

друг от друга.

Подробное решение

Решение

Вопрос 1. На рисунке изображены уже заряженный шар радиуса

r

и приносимый слой толщины

d r

. Постоянная объёмная плотность заряда равна

ρ_{q} = 3 Q / (4 π R^{3})

. Следовательно,

Q (r) = ρ_{q} \frac{4 π r ^{3}}{3} = Q \frac{r ^{3}}{R ^{3}}, d Q = 4 π ρ_{q} r^{2} d r = \frac{3 Q}{R ^{3}} r^{2} d r .

Изменение энергии при добавлении слоя равно

d U_{el} = \frac{k _{e} Q ( r )}{r} d Q = \frac{3 k _{e} Q ^{2}}{R ^{6}} r^{4} d r .

Суммируя вклады от центра до поверхности, получаем

U_{el} = \frac{3 k _{e} Q ^{2}}{R ^{6}} \int_{0}^{R} r^{4} d r = \frac{3 k _{e} Q ^{2}}{R ^{6}} [\frac{r ^{5}}{5}]_{0}^{R} = \frac{3 k _{e} Q ^{2}}{5 R} = \frac{3 Q ^{2}}{20 π ε _{0} R} .

Взаимодействие каждой пары слоёв учитывается только один раз; никакого дополнительного множителя $1/2$ не требуется. Результат положителен: чтобы собрать заряды, нужно преодолевать отталкивание. Произведение $k_{e} Q^{2} / R$ выражается в джоулях.

Вопрос 2. При фиксированной концентрации частиц

ρ_{N} = N / (4 π R^{3} /3)

имеем

r_{0} = (3/ (4 π ρ_{N}))^{1/3}

. Подставляя, находим

U_{el} = \frac{3 k _{e} ( N q _{0} ) ^{2}}{5 r _{0} N ^{1/3}} = \frac{3 k _{e} q _{0}^{2}}{5 r _{0}} N^{5/3} .

Эта энергия имеет степень однородности $5/3$ и, следовательно, не экстенсивна. Энергия на одну частицу растёт как $N^{2/3}$ . Степень та же, что и для гравитирующего шара, потому что оба потенциала убывают как $1/ r$ ; знак противоположный, поскольку одноимённые заряды отталкиваются. Непрерывная модель описывает коллективный вклад, не учитывая собственных энергий точечных зарядов.

Вопрос 3. При фиксированном

Q

разность равна

Δ U_{el} = \frac{3 k _{e} Q ^{2}}{5} (\frac{1}{R _{B}} - \frac{1}{R _{A}}) < 0.

В квазистатическом процессе без диссипации электрический вклад в полученную работу равен изменению потенциальной энергии. Это можно проверить и интегрированием:

W_{ext} = \int_{R_{A}}^{R_{B}} - \frac{3 k _{e} Q ^{2}}{5 R ^{2}} d R = [\frac{3 k _{e} Q ^{2}}{5 R}]_{R_{A}}^{R_{B}} = Δ U_{el} < 0.

Внешний агент удерживает отталкивающиеся заряды и получает работу во время расширения. Никакое другое запасание энергии в удерживающем устройстве в этот электрический баланс не включено.

Вопрос 4. Для зарядов одного знака все произведения

q_{i} q_{j}

положительны: их вклады складываются. В электрически нейтральном веществе, напротив, существуют вклады притяжения и отталкивания, которые могут компенсировать друг друга на больших расстояниях. Таким образом, нейтральность и, в тех средах, где оно существенно, экранирование меняют рассуждение, основанное на сложении членов одного знака. Однако полная нейтральность не означает

U_{el} = 0

. Два заряда

+ q_{0}

- q_{0}

на расстоянии

a

имеют нулевой полный заряд, но ненулевую энергию взаимодействия

- k_{e} q_{0}^{2} / a

. Чтобы установить закон масштабирования, нужно знать расположение зарядов и корреляции между ними. Поэтому расчёт для равномерно заряженного шара не является ни доказательством неэкстенсивности всякого вещества, ни доказательством экстенсивности нейтральных систем.