Решённая задача по термодинамике

Одинаковое изменение внутренней энергии при трёх способах передачи

Задача 7 · Урок 4 — Первое начало термодинамики

первый закон термодинамики
внутренняя энергия
теплота
механическая работа
электрическая работа
калориметрия
функция состояния

Рабочая версия — эта задача ещё проходит проверку.

Условие

Жидкость, её калориметр и небольшой погружённый резистор образуют замкнутую систему, макроскопически находящуюся в покое. Сосуд жёсткий, а полная теплоёмкость системы считается постоянной:

C=2{,}00\ \mathrm{kJ\,K^{-1}}.

Требуется перевести систему из равновесного состояния $A$ при $T_A=20{,}0\,^\circ\mathrm{C}$ в равновесное состояние $B$ при $T_B=25{,}0\,^\circ\mathrm{C}$ . Примем, что

U(B)-U(A)=C(T_B-T_A).

Изменения макроскопических кинетической и потенциальной энергий равны нулю. Всеми потерями энергии во внешнюю среду пренебрегаем.

Независимо выполняют три следующих протокола, каждый раз начиная с одного и того же состояния $A$ :

Протокол 1. Систему приводят в тепловой контакт с горячим источником, не сообщая ей никакой работы.
Протокол 2. Стенки теплоизолированы. Лопастная мешалка перемешивает жидкость благодаря падению груза массы $m$ с высоты $h=5{,}00$ м. В конце мешалка и жидкость покоятся, а вся механическая энергия, потерянная грузом, передаётся системе. Принять $g=9{,}81\ \mathrm{m\,s^{-2}}$ .
Протокол 3. Система получает теплоту $Q_3=4{,}00$ кДж, а недостающая энергия подводится к резистору электрическим способом. Получаемая электрическая мощность постоянна и равна $\mathcal P=300$ Вт.

Вычислите общее для трёх протоколов изменение внутренней энергии $\Delta U=U(B)-U(A)$ .
Для каждого из первых двух протоколов определите теплоту $Q$ и работу $W$ , полученные системой. Во втором протоколе вычислите необходимую массу $m$ .
Для третьего протокола вычислите полученную электрическую работу и продолжительность питания резистора.
Все три процесса имеют одинаковые начальное и конечное состояния. Объясните, почему их значения $Q$ и $W$ всё же могут различаться. Содержит ли система «теплоту» или «работу» в конечном состоянии $B$ ?

Подсказка

Примените

\Delta U=Q+W

с банковским правилом знаков. Для мешалки полученная работа равна уменьшению потенциальной энергии груза

mgh

. Энергия, пересекающая границу по электрическим проводам, учитывается как электрическая работа.

Подробное решение

Решение

Вопрос 1. Разность температур равна

T_B-T_A=5{,}0

К. Поэтому

\Delta U=C(T_B-T_A) =2{,}00\times5{,}0 =10{,}0\ \mathrm{kJ}.

Это значение зависит только от двух равновесных состояний $A$ и $B$ .

Вопрос 2. В первом протоколе система не получает работы: $W_1=0$ . Поэтому первый закон даёт

Q_1=\Delta U=10{,}0\ \mathrm{kJ}.

Теплота положительна, поскольку энергия поступает в систему.

Во втором протоколе стенки теплоизолированы, поэтому $Q_2=0$ . Всё изменение внутренней энергии обусловлено механической работой мешалки:

W_2=\Delta U=10{,}0\ \mathrm{kJ}.

Так как $W_2=mgh$ , то

m=\frac{W_2}{gh} =\frac{10{,}0\times10^3}{9{,}81\times5{,}00} \simeq 204\ \mathrm{kg}.

Большой порядок величины напоминает, что даже небольшому повышению температуры уже соответствует значительная механическая энергия.

Вопрос 3. Первый закон требует

W_3=\Delta U-Q_3=10{,}0-4{,}00=6{,}00\ \mathrm{kJ}.

Эта работа положительна: источник электрического питания передаёт энергию системе. При $W_3=\mathcal P\,\Delta t$ получаем

\Delta t=\frac{W_3}{\mathcal P} =\frac{6{,}00\times10^3}{300} =20{,}0\ \mathrm{s}.

Вопрос 4. Три пути соответственно дают

(Q_1,W_1)=(10{,}0,0)\ \mathrm{kJ}, \qquad (Q_2,W_2)=(0,10{,}0)\ \mathrm{kJ},

(Q_3,W_3)=(4{,}00,6{,}00)\ \mathrm{kJ}.

Во всех случаях сумма $Q+W$ равна $10{,}0$ кДж и приводит к одному и тому же изменению $\Delta U$ . Внутренняя энергия является функцией состояния, тогда как теплота и работа описывают переносы энергии во время процесса. В конечном состоянии $B$ система обладает внутренней энергией, но не содержит ни «теплоты», ни «работы».