Условие

Два недеформируемых блока A и B имеют постоянные полные теплоёмкости $C_A>0$ и $C_B>0$ . Их начальные температуры равны $T_{A,0}>T_{B,0}>0$ . Температура каждого блока однородна, но может меняться при теплообмене. Фазовых переходов нет.

Между блоками работает тепловая машина, не приводящая их в непосредственный контакт. Она забирает теплоту у A, отдаёт часть блоку B и совершает работу над окружающей средой. Совокупность «блоки + машина» не обменивается теплотой с окружающей средой. После каждого цикла машина возвращается в то же состояние: она не накапливает ни энергии, ни энтропии. Требуется найти максимальную работу, извлекаемую за счёт начальной разности температур.

Для этого рассматривается предел последовательности бесконечно малых обратимых циклов. В каждом текущие температуры $T_A$ и $T_B$ меняются бесконечно мало. Принимаем соглашение: энергия положительна, когда её получает рассматриваемая система. Обозначим $\delta Q_A$ и $\delta Q_B$ теплоты, полученные машиной соответственно от A и B, а $\delta W$ — полученную ею работу. В режиме двигателя $\delta Q_A>0$ , $\delta Q_B<0$ и $\delta W<0$ . Поэтому блоки получают соответственно теплоты $-\delta Q_A$ и $-\delta Q_B$ .

Запишите энергетические балансы блоков и машины за бесконечно малый цикл. С помощью КПД Карно выразите $\delta Q_B$ через $\delta Q_A,T_A,T_B$ . Покажите, что A охлаждается, а B нагревается. Как меняются разность температур и КПД с каждым циклом? При каком условии возможность производить работу исчезает?
Установите связь между $\mathrm dT_A/T_A$ и $\mathrm dT_B/T_B$ , затем проинтегрируйте её от начального состояния. Найдите общую конечную температуру $T_r$ . Почему нельзя считать блоки термостатами с постоянными температурами $T_{A,0}$ и $T_{B,0}$ ?
Вычислите полную полученную работу $W_{\mathrm{rev}}$ при обратимой работе машины, затем её модуль $|W_{\mathrm{rev}}|$ , равный максимальной работе, извлекаемой снаружи. Упростите $T_r$ и $W_{\mathrm{rev}}$ при $C_A=C_B=C$ ; запишите тогда $|W_{\mathrm{rev}}|$ в явно положительном виде.
Численный расчёт: оба блока железные, массой $m=1{,}0\ \mathrm{kg}$ каждый, первоначально при $60\,{}^\circ\mathrm C$ для A и $20\,{}^\circ\mathrm C$ для B. Примите постоянную удельную теплоёмкость железа $c=450\ \mathrm{J\,kg^{-1}\,K^{-1}}$ . Вычислите максимальную извлекаемую работу $|W_{\mathrm{rev}}|$ .

Подсказка

В каждом бесконечно малом цикле КПД равен

1-T_B/T_A

при текущих температурах и записывается как

|\delta W|/\delta Q_A

. Для общего баланса примените

\Delta U=Q+W

к совокупности «блоки + машина», где

Q=0

и

W<0

.

Подробное решение

Решение

Вопрос 1. Блоки недеформируемы и не получают работы. Поэтому изменения их энергии равны полученным теплотам:

C_A\,\mathrm dT_A=-\delta Q_A,\qquad C_B\,\mathrm dT_B=-\delta Q_B.

Машина возвращается в начальное состояние. Её энергетический баланс даёт $0=\delta Q_A+\delta Q_B+\delta W$ , то есть

\delta W=-(\delta Q_A+\delta Q_B)<0.

КПД — отношение извлечённой работы к теплоте, полученной от A. Поскольку $\delta W<0$ , имеем $|\delta W|=-\delta W$ , поэтому

\eta=\frac{|\delta W|}{\delta Q_A} =1+\frac{\delta Q_B}{\delta Q_A}=1-\frac{T_B}{T_A} \quad\Longrightarrow\quad \delta Q_B=-\frac{T_B}{T_A}\delta Q_A.

Блок A получает $-\delta Q_A<0$ , блок B — $-\delta Q_B>0$ . Теплоёмкости положительны, поэтому $\mathrm dT_A<0$ и $\mathrm dT_B>0$ . Разность температур уменьшается:

\mathrm d(T_A-T_B) =-\delta Q_A\left(\frac1{C_A}+\frac{T_B}{C_BT_A}\right)<0.

Отношение $T_B/T_A$ растёт: его числитель увеличивается, знаменатель уменьшается. КПД $1-T_B/T_A$ постепенно снижается. При $T_A=T_B$ он обращается в нуль: разность температур исчерпана, и никакой циклический двигатель между этими блоками уже не может отдавать работу.

Вопрос 2. Балансы блоков дают

\delta Q_A=-C_A\,\mathrm dT_A

и

\delta Q_B=-C_B\,\mathrm dT_B

. Подставим в предыдущее соотношение:

-C_B\,\mathrm dT_B =-\frac{T_B}{T_A}(-C_A\,\mathrm dT_A) =\frac{T_B}{T_A}C_A\,\mathrm dT_A.

Меняя знак и затем деля на $T_B$ ,

C_B\,\mathrm dT_B=-\frac{T_B}{T_A}C_A\,\mathrm dT_A, \qquad C_A\frac{\mathrm dT_A}{T_A} +C_B\frac{\mathrm dT_B}{T_B}=0.

Интегрируем от начальных температур до температур после произвольного числа циклов:

C_A\int_{T_{A,0}}^{T_A}\frac{\mathrm dT}{T} +C_B\int_{T_{B,0}}^{T_B}\frac{\mathrm dT}{T}=0.

Первообразная $1/T$ равна $\ln T$ ; подстановка пределов даёт

C_A\ln\frac{T_A}{T_{A,0}}+C_B\ln\frac{T_B}{T_{B,0}}=0.

Это соотношение выражает сохранение полной энтропии при обратимой работе. После остановки $T_A=T_B=T_r$ . Записывая $\ln(T_r/T_{B,0})=\ln(T_r/T_{A,0})+\ln(T_{A,0}/T_{B,0})$ ,

(C_A+C_B)\ln\frac{T_r}{T_{A,0}} =C_B\ln\frac{T_{B,0}}{T_{A,0}}.

Деление на $C_A+C_B$ и возведение экспоненты даёт

\boxed{T_r=T_{A,0} \left(\frac{T_{B,0}}{T_{A,0}}\right)^{C_B/(C_A+C_B)}.}

Теплоёмкости блоков ограничены: любая переданная теплота меняет их температуры по $\mathrm dT=\delta Q_{\mathrm{block}}/C$ , где $\delta Q_{\mathrm{block}}$ — теплота, полученная рассматриваемым блоком. Поэтому начальный КПД не остаётся верным в течение всего опыта. Приближение постоянных температур справедливо лишь в каждом бесконечно малом цикле, каждый раз при новых температурах.

Вопрос 3. Совокупность «блоки + машина» адиабатична, но отдаёт работу: она не изолирована. Машина не запасает энергию, поэтому первое начало даёт

C_A(T_r-T_{A,0})+C_B(T_r-T_{B,0})=W_{\mathrm{rev}}.

Работа, полученная всей совокупностью, равна работе, полученной машиной. Группируя слагаемые,

W_{\mathrm{rev}}=(C_A+C_B)T_r-C_AT_{A,0}-C_BT_{B,0}<0.

Работа, извлечённая снаружи, равна её модулю:

\boxed{|W_{\mathrm{rev}}|=-W_{\mathrm{rev}} =C_AT_{A,0}+C_BT_{B,0}-(C_A+C_B)T_r.}

Каждое произведение $CT$ имеет единицу энергии — джоуль. Чтобы понять, почему обратимость даёт максимум, рассмотрим машину, производящую энтропию и приводящую блоки к общей температуре $T_*$ . Баланс энтропии блоков требует

C_A\ln\frac{T_*}{T_{A,0}}+C_B\ln\frac{T_*}{T_{B,0}}\geq0.

Вычитая обратимый баланс, равный нулю, получаем $(C_A+C_B)\ln(T_*/T_r)\geq0$ , поэтому $T_*\geq T_r$ . Полученная работа в этом режиме двигателя равна $W_*=(C_A+C_B)T_*-C_AT_{A,0}-C_BT_{B,0}$ , откуда

W_*-W_{\mathrm{rev}}=(C_A+C_B)(T_*-T_r)\geq0.

Итак, $W_{\mathrm{rev}}\leq W_*\leq0$ : полученная работа наиболее отрицательна в обратимом случае. Поэтому её модуль максимален, $|W_*|\leq|W_{\mathrm{rev}}|$ .

При

C_A=C_B=C

показатель равен

1/2

, откуда

T_r=T_{A,0}\sqrt{\frac{T_{B,0}}{T_{A,0}}} =\sqrt{T_{A,0}T_{B,0}}, W_{\mathrm{rev}}=-C\left(\sqrt{T_{A,0}}-\sqrt{T_{B,0}}\right)^2<0, |W_{\mathrm{rev}}|=C\left(T_{A,0}+T_{B,0} -2\sqrt{T_{A,0}T_{B,0}}\right) =C\left(\sqrt{T_{A,0}}-\sqrt{T_{B,0}}\right)^2>0.

Узнаём тождество $a^2+b^2-2ab=(a-b)^2$ . Работа обращается в нуль при равных начальных температурах.

Вопрос 4. Дана удельная теплоёмкость. Поэтому полная теплоёмкость каждого блока равна

C=mc=1{,}0\times450=450\ \mathrm{J\,K^{-1}}.

Температуры под корнями должны быть выражены в кельвинах:

T_{A,0}=60+273{,}15=333{,}15\ \mathrm K,\qquad T_{B,0}=20+273{,}15=293{,}15\ \mathrm K.

Подставляя в результат вопроса 3,

|W_{\mathrm{rev}}| =450\left(\sqrt{333{,}15}-\sqrt{293{,}15}\right)^2 \simeq575\ \mathrm J=0{,}575\ \mathrm{kJ}.

Максимальная извлекаемая работа составляет примерно $0{,}58\ \mathrm{kJ}$ . При принятом соглашении полученная машиной работа равна $W_{\mathrm{rev}}\simeq-575\ \mathrm J$ : отрицательный знак означает, что она отдаёт эту энергию окружающей среде.