Условие

Вернёмся к двум опытам адиабатического сжатия из урока 5, напомнив нужные результаты. Вертикальный теплоизолированный цилиндр с площадью сечения $\mathcal S$ содержит $n$ молей идеального газа. Его поршень также теплоизолирован, движется без трения и имеет пренебрежимо малую массу. Молярные теплоёмкости $c_V$ и $c_P$ постоянны, причём

\gamma=\frac{c_P}{c_V}>1,\qquad c_V=\frac{R}{\gamma-1},\qquad c_P=c_V+R.

Первоначально на поршень действует только атмосферное давление $P_0$ : газ находится в состоянии $A=(P_0,V_0,T_0)$ , где $P_0V_0=nRT_0$ . Дополнительный груз массой $M$ повышает внешнее давление до

P_1=P_0+\frac{Mg}{\mathcal S}=xP_0,\qquad x>1.

Оба опыта начинаются из $A$ . В первом груз добавляют, затем убирают по одной песчинке: газ следует обратимой адиабате $A\to B\to A$ . Во втором весь груз кладут сразу, ждут равновесия $B'$ , затем снимают сразу и ждут равновесия $B"$ . На каждом резком этапе внешнее давление постоянно: $P_1$ при нагружении, $P_0$ при разгрузке. Предполагается, что колебания затухают за счёт диссипации в газе; в начальном и конечных состояниях поршень покоится и не запасает энергии.

Оба сжатия начинаются из A (в центре). Слева груз добавляют постепенно до B; постепенное снятие возвращает в A. Справа груз кладут резко до B'; резкое снятие приводит к другому состоянию B”. Схема изображает сжатия; четыре состояния указаны ниже. — Рисунок 1. Оба сжатия начинаются из $A$ (в центре). Слева груз добавляют постепенно до $B$ ; постепенное снятие возвращает в $A$ . Справа груз кладут резко до $B'$ ; резкое снятие приводит к другому состоянию $B"$ . Схема изображает сжатия; четыре состояния указаны ниже.

Законы Лапласа на обратимом пути и первое начало на резких путях дали следующие результаты. Положим

\begin{aligned} \theta=\frac{1+(\gamma-1)x}{\gamma},\qquad \phi=\frac{1+(\gamma-1)/x}{\gamma}. \begin{array}{c|ccc} \text{Состояние} & P/P_0 & V/V_0 & T/T_0\\ \hline A & 1 & 1 & 1\\[3pt] B & x & x^{-1/\gamma} & x^{(\gamma-1)/\gamma}\\[3pt] B' & x & \theta/x & \theta\\[3pt] B" & 1 & \theta\phi & \theta\phi \end{array} \end{aligned}

В частности,

\theta>x^{(\gamma-1)/\gamma},\qquad \phi>x^{-(\gamma-1)/\gamma},\qquad \theta\phi-1=\frac{\gamma-1}{\gamma^2}\frac{(x-1)^2}{x}>0.

Все этапы адиабатичны: $Q=0$ и $W=\Delta U=nc_V(T_f-T_i)$ при соглашении о положительных энергиях, полученных газом. Таким образом,

\begin{aligned} W_{AB}&=nc_VT_0\left[x^{(\gamma-1)/\gamma}-1\right], & W_{BA}&=-W_{AB},\\ W_{AB'}&=nc_VT_0(\theta-1), & W_{B'B"}&=nc_VT_0\theta(\phi-1). \end{aligned}

Для обратимого пути туда и обратно суммарная работа нулевая, а на резком пути газ получает $W_{AB'B"}=nc_VT_0(\theta\phi-1)>0$ .

Вычислите изменения энтропии на $A\to B$ и $B\to A$ , затем составьте баланс энтропии обратимого пути туда и обратно.
Вычислите $\Delta S_{AB'}$ и покажите её строгую положительность. Какая часть этого изменения связана с обменом, а какая с производством?
Повторите для резкого снятия груза $B'\to B"$ .
Непосредственно вычислите $\Delta S_{AB"}$ и проверьте, что она равна сумме двух предыдущих произведённых энтропий. Является ли путь $A\to B'\to B"$ циклом газа?
Сравните энергетические и энтропийные балансы обоих путей туда и обратно. Объясните, почему отсутствие теплообмена не означает сохранения энтропии.

Подсказка

Между двумя равновесными состояниями идеального газа

\Delta S=nc_V\ln\frac{T_f}{T_i}+nR\ln\frac{V_f}{V_i}.

Для $B'\to B"$ используйте $T_{B"}/T_{B'}=\phi$ и $V_{B"}/V_{B'}=x\phi$ . Неравенства, приведённые в условии, позволяют определить знаки. На каждом этапе $S_{\mathrm{e}}=0$ .

Подробное решение

Решение

Вопрос 1. Таблица даёт

T_B/T_0=x^{(\gamma-1)/\gamma}

и

V_B/V_0=x^{-1/\gamma}

. Подставляя в формулу энтропии,

\begin{aligned} \Delta S_{AB} &=nc_V\ln\left(x^{(\gamma-1)/\gamma}\right) +nR\ln\left(x^{-1/\gamma}\right)\\ &=nc_V\frac{\gamma-1}{\gamma}\ln x-\frac{nR}{\gamma}\ln x\\ &=\frac n\gamma[c_V(\gamma-1)-R]\ln x=0, \end{aligned}

поскольку $c_V(\gamma-1)=R$ . Возвращение идёт по тому же пути в обратном направлении, поэтому $\Delta S_{BA}=0$ . На каждом этапе и на всём пути туда и обратно $S_{\mathrm{e}}=S_{\mathrm{i}}=\Delta S=0$ . Газ возвращается в $A$ .

Вопрос 2. При резком сжатии

T_{B'}/T_0=\theta

и

V_{B'}/V_0=\theta/x

. Используя

R=c_V(\gamma-1)

, затем свойства логарифмов,

\begin{aligned} \Delta S_{AB'} &=nc_V\ln\theta+nR\ln\frac{\theta}{x}\\ &=nc_V[\ln\theta+(\gamma-1)(\ln\theta-\ln x)]\\ &=nc_V[\gamma\ln\theta-(\gamma-1)\ln x]\\ &=nc_V\ln\left(\frac{\theta^\gamma}{x^{\gamma-1}}\right). \end{aligned}

Принятое неравенство $\theta>x^{(\gamma-1)/\gamma}$ даёт $\theta^\gamma>x^{\gamma-1}$ : отношение под логарифмом превышает 1, поэтому $\Delta S_{AB'}>0$ . Обмен энтропией нулевой, следовательно $S_{\mathrm{i},AB'}=\Delta S_{AB'}$ . Энтропия газа увеличивается за счёт производства без получения теплоты.

Вопрос 3. При резком снятии груза отношения величин между конечным и начальным состояниями этого этапа равны

\frac{T_{B"}}{T_{B'}}=\frac{\theta\phi}{\theta}=\phi, \qquad \frac{V_{B"}}{V_{B'}}=\frac{\theta\phi}{\theta/x}=x\phi.

Таким образом,

\begin{aligned} \Delta S_{B'B"} &=nc_V\ln\phi+nR\ln(x\phi)\\ &=nc_V[\ln\phi+(\gamma-1)(\ln x+\ln\phi)]\\ &=nc_V[\gamma\ln\phi+(\gamma-1)\ln x]\\ &=nc_V\ln\left(\phi^\gamma x^{\gamma-1}\right)>0. \end{aligned}

Действительно, $\phi>x^{-(\gamma-1)/\gamma}$ влечёт $\phi^\gamma x^{\gamma-1}>1$ . Снова $S_{\mathrm{e}}=0$ и $S_{\mathrm{i},B'B"}=\Delta S_{B'B"}$ . При этом расширении газ охлаждается ( $\phi<1$ ), но его энтропия растёт: вклад расширения преобладает.

Вопрос 4. Состояния

A

и

B"

имеют одинаковое давление и

T_{B"}/T_0=V_{B"}/V_0=\theta\phi

, откуда

\Delta S_{AB"}=nc_V\ln(\theta\phi)+nR\ln(\theta\phi) =nc_P\ln(\theta\phi)>0.

Мы использовали $c_P=c_V+R$ и $\theta\phi>1$ . Теперь сложим два предыдущих результата:

\begin{aligned} \Delta S_{AB'}+\Delta S_{B'B"} &=nc_V[\gamma\ln\theta-(\gamma-1)\ln x\\ &\qquad+\gamma\ln\phi+(\gamma-1)\ln x]\\ &=nc_V\gamma(\ln\theta+\ln\phi)\\ &=nc_P\ln(\theta\phi)=\Delta S_{AB"}. \end{aligned}

Члены с $\ln x$ сокращаются. Каждый этап адиабатичен, поэтому эта сумма также равна сумме двух произведённых энтропий. Возврата внешнего давления к $P_0$ недостаточно для замыкания цикла газа: $B"\ne A$ , поскольку $T_{B"}>T_0$ и $V_{B"}>V_0$ .

Вопрос 5. Для

A\to B\to A

имеем

Q_{\mathrm{tot}}=W_{\mathrm{tot}}=\Delta U_{\mathrm{tot}}=0

и

S_{\mathrm{i},\mathrm{tot}}=0

. Для

A\to B'\to B"

,

Q_{\mathrm{tot}}=0,\qquad W_{\mathrm{tot}}=\Delta U_{\mathrm{tot}}=nc_VT_0(\theta\phi-1)>0, S_{\mathrm{e},\mathrm{tot}}=0,\qquad S_{\mathrm{i},\mathrm{tot}}=\Delta S_{\mathrm{tot}}=nc_P\ln(\theta\phi)>0.

Первое начало описывает суммарную работу, сохранённую в форме внутренней энергии; второе количественно характеризует необратимость произведённой энтропией. Адиабатический процесс изэнтропичен лишь тогда, когда не производит энтропии, как здесь в обратимом случае.