Решённая задача по термодинамике

Изотермическая атмосфера и химический потенциал

Задача 41 · Урок 8 — Направление процессов, равновесие и устойчивость

химический потенциал
атмосфера
барометрическая формула
сила тяжести
идеальный газ

Условие

Для одного моля воздуха на высоте $z$ задан обобщённый химический потенциал

μ (T, P, z) = μ^{\circ} (T) + R T ln (\frac{P}{P ^{\circ}}) + M g z,

где $M$ — молярная масса воздуха. Атмосфера считается изотермической.

Объясните, почему при равновесии $μ$ не должен зависеть от $z$ .
Выведите отсюда дифференциальное уравнение для $P (z)$ , а затем барометрическую формулу.
Оцените $P (h) / P (0)$ при $h = 8, 85 km$ , $T = 260 K$ , $M = 29, 0 g mo l^{- 1}$ и $g = 9, 81 m s^{- 2}$ .
Укажите важное ограничение этой модели.

Подсказка

При равновесии перенос малого количества вещества с одной высоты на другую не должен изменять свободную энергию в первом порядке.

Подробное решение

Решение

1. Если бы

μ

на одной высоте был больше, чем на другой, перенос вещества в область с меньшим потенциалом уменьшил бы свободную энергию. Поэтому равновесие требует

d μ = 0

. 2. При постоянной температуре

0 = d μ = R T \frac{d P}{P} + M g d z .

Таким образом, $d P / P = - (M g / R T) d z$ . Интегрируя от $0$ до $z$ ,

\int_{P (0)}^{P (z)} \frac{d P}{P} = - \frac{M g}{R T} \int_{0}^{z} d z,

получаем

P (z) = P (0) exp (- \frac{M g z}{R T}) .

3. Молярная масса в единицах СИ равна $M = 2, 90 \times 1 0^{- 2} kg mo l^{- 1}$ . Показатель экспоненты равен

\frac{M g h}{R T} = \frac{2 , 90 \times 1 0 ^{- 2} \times 9 , 81 \times 8 , 85 \times 1 0 ^{3}}{8 , 314 \times 260} ≃ 1, 17.

Следовательно, $P (h) / P (0) = e^{- 1, 17} ≃ 0, 31$ .

4. Реальная температура атмосферы меняется с высотой. Изотермическая модель даёт полезный порядок величины, но не точный профиль; кроме того, она не учитывает влажность и изменение состава.