Enunciado

Dois blocos rígidos A e B têm capacidades térmicas totais constantes $C_A>0$ e $C_B>0$ . As temperaturas iniciais satisfazem $T_{A,0}>T_{B,0}>0$ . Cada bloco mantém uma temperatura uniforme, que pode variar ao trocar calor. Não ocorre mudança de fase.

Uma máquina térmica funciona entre os blocos, sem os colocar em contacto direto. Retira calor de A, transfere uma parte para B e fornece trabalho ao exterior. O conjunto blocos e máquina não troca calor com o exterior. A máquina regressa ao mesmo estado após cada ciclo: não acumula energia nem entropia. Procura-se o trabalho máximo recuperável a partir da diferença inicial de temperatura.

Considera-se o limite de uma sucessão de ciclos reversíveis infinitesimais. Em cada ciclo, as temperaturas instantâneas $T_A$ e $T_B$ variam infinitesimalmente. Usa-se a convenção do banqueiro: a energia é positiva quando é recebida pelo sistema considerado. Designam-se por $\delta Q_A$ e $\delta Q_B$ os calores recebidos pela máquina de A e B, respetivamente, e por $\delta W$ o trabalho recebido pela máquina. Em funcionamento motor, $\delta Q_A>0$ , $\delta Q_B<0$ e $\delta W<0$ . Os calores recebidos pelos blocos são, portanto, $-\delta Q_A$ e $-\delta Q_B$ , respetivamente.

Escrever os balanços energéticos dos blocos e da máquina num ciclo infinitesimal. Usar o rendimento de Carnot para exprimir $\delta Q_B$ em função de $\delta Q_A,T_A,T_B$ . Mostrar que A arrefece e B aquece. Como evoluem a diferença de temperatura e o rendimento ao longo dos ciclos? Em que condição cessa a produção de trabalho?
Estabelecer uma relação entre $\mathrm dT_A/T_A$ e $\mathrm dT_B/T_B$ e integrá-la a partir do estado inicial. Deduzir a temperatura final comum $T_r$ . Porque não se podem tratar os blocos como termostatos às temperaturas constantes $T_{A,0}$ e $T_{B,0}$ ?
Calcular o trabalho total recebido $W_{\mathrm{rev}}$ durante este funcionamento reversível e depois o seu valor absoluto $|W_{\mathrm{rev}}|$ , trabalho máximo recuperável no exterior. Simplificar $T_r$ e $W_{\mathrm{rev}}$ quando $C_A=C_B=C$ ; exprimir $|W_{\mathrm{rev}}|$ numa forma manifestamente positiva.
Aplicação numérica: os dois blocos são de ferro, cada um de massa $m=1{,}0\ \mathrm{kg}$ , inicialmente a $60\,{}^\circ\mathrm C$ para A e $20\,{}^\circ\mathrm C$ para B. Supõe-se constante a capacidade térmica mássica do ferro, $c=450\ \mathrm{J\,kg^{-1}\,K^{-1}}$ . Calcular o trabalho máximo recuperável $|W_{\mathrm{rev}}|$ .

Dica

Em cada ciclo infinitesimal, o rendimento é

1-T_B/T_A

, usando as temperaturas instantâneas, e é igual a

|\delta W|/\delta Q_A

. Para o balanço global, aplicar

\Delta U=Q+W

ao conjunto blocos e máquina, com

Q=0

e

W<0

.

Solução detalhada

Solução

Questão 1. Os blocos são rígidos e não recebem trabalho. As suas variações de energia são, portanto, os calores recebidos:

C_A\,\mathrm dT_A=-\delta Q_A,\qquad C_B\,\mathrm dT_B=-\delta Q_B.

A máquina regressa ao estado inicial. O seu balanço energético dá $0=\delta Q_A+\delta Q_B+\delta W$ , ou seja,

\delta W=-(\delta Q_A+\delta Q_B)<0.

O rendimento é a razão entre o trabalho recuperado e o calor recebido de A. Como $\delta W<0$ , tem-se $|\delta W|=-\delta W$ , logo

\eta=\frac{|\delta W|}{\delta Q_A} =1+\frac{\delta Q_B}{\delta Q_A}=1-\frac{T_B}{T_A} \quad\Longrightarrow\quad \delta Q_B=-\frac{T_B}{T_A}\delta Q_A.

O bloco A recebe $-\delta Q_A<0$ e o bloco B recebe $-\delta Q_B>0$ . Como as capacidades térmicas são positivas, $\mathrm dT_A<0$ e $\mathrm dT_B>0$ . A diferença de temperatura diminui:

\mathrm d(T_A-T_B) =-\delta Q_A\left(\frac1{C_A}+\frac{T_B}{C_BT_A}\right)<0.

A razão $T_B/T_A$ aumenta porque o numerador aumenta e o denominador diminui. O rendimento $1-T_B/T_A$ decresce progressivamente. Quando $T_A=T_B$ , anula-se: esgotou-se a diferença de temperatura e nenhuma máquina cíclica entre estes blocos pode fornecer mais trabalho.

Questão 2. Os balanços dos blocos dão

\delta Q_A=-C_A\,\mathrm dT_A

e

\delta Q_B=-C_B\,\mathrm dT_B

. Substituindo na relação anterior,

-C_B\,\mathrm dT_B =-\frac{T_B}{T_A}(-C_A\,\mathrm dT_A) =\frac{T_B}{T_A}C_A\,\mathrm dT_A.

Mudando o sinal e dividindo por $T_B$ ,

C_B\,\mathrm dT_B=-\frac{T_B}{T_A}C_A\,\mathrm dT_A, \qquad C_A\frac{\mathrm dT_A}{T_A} +C_B\frac{\mathrm dT_B}{T_B}=0.

Integra-se desde as temperaturas iniciais até às atingidas após um número qualquer de ciclos:

C_A\int_{T_{A,0}}^{T_A}\frac{\mathrm dT}{T} +C_B\int_{T_{B,0}}^{T_B}\frac{\mathrm dT}{T}=0.

Uma primitiva de $1/T$ é $\ln T$ ; avaliando nos limites,

C_A\ln\frac{T_A}{T_{A,0}}+C_B\ln\frac{T_B}{T_{B,0}}=0.

Esta relação exprime a conservação da entropia total no funcionamento reversível. Quando a máquina para, $T_A=T_B=T_r$ . Escrevendo $\ln(T_r/T_{B,0})=\ln(T_r/T_{A,0})+\ln(T_{A,0}/T_{B,0})$ ,

(C_A+C_B)\ln\frac{T_r}{T_{A,0}} =C_B\ln\frac{T_{B,0}}{T_{A,0}}.

Dividindo por $C_A+C_B$ e exponenciando,

\boxed{T_r=T_{A,0} \left(\frac{T_{B,0}}{T_{A,0}}\right)^{C_B/(C_A+C_B)}.}

Os blocos têm capacidades térmicas finitas: qualquer troca de calor muda as suas temperaturas segundo $\mathrm dT=\delta Q_{\mathrm{block}}/C$ , onde $\delta Q_{\mathrm{block}}$ é o calor recebido pelo bloco considerado. O rendimento inicial não se aplica, portanto, durante toda a experiência. Só se podem considerar constantes as temperaturas dentro de cada ciclo infinitesimal, usando de cada vez os valores atualizados.

Questão 3. O conjunto blocos e máquina é adiabático, mas fornece trabalho: não está isolado. Como a máquina não armazena energia, o primeiro princípio dá

C_A(T_r-T_{A,0})+C_B(T_r-T_{B,0})=W_{\mathrm{rev}}.

O trabalho recebido pelo conjunto é o recebido pela máquina. Agrupando os termos,

W_{\mathrm{rev}}=(C_A+C_B)T_r-C_AT_{A,0}-C_BT_{B,0}<0.

O trabalho recuperado no exterior é o seu valor absoluto:

\boxed{|W_{\mathrm{rev}}|=-W_{\mathrm{rev}} =C_AT_{A,0}+C_BT_{B,0}-(C_A+C_B)T_r.}

Cada produto $CT$ tem a unidade de uma energia, o joule. Para perceber porque a reversibilidade dá o máximo, considera-se uma máquina que produz entropia e deixa os blocos a uma temperatura comum $T_*$ . O balanço de entropia dos blocos exige

C_A\ln\frac{T_*}{T_{A,0}}+C_B\ln\frac{T_*}{T_{B,0}}\geq0.

Subtraindo o balanço reversível, que é nulo, resta $(C_A+C_B)\ln(T_*/T_r)\geq0$ , logo $T_*\geq T_r$ . O trabalho recebido neste funcionamento motor é $W_*=(C_A+C_B)T_*-C_AT_{A,0}-C_BT_{B,0}$ , pelo que

W_*-W_{\mathrm{rev}}=(C_A+C_B)(T_*-T_r)\geq0.

Assim, $W_{\mathrm{rev}}\leq W_*\leq0$ : o trabalho recebido é mais negativo no caso reversível. O seu valor absoluto é, portanto, máximo, $|W_*|\leq|W_{\mathrm{rev}}|$ .

Para

C_A=C_B=C

, o expoente vale

1/2

, logo

T_r=T_{A,0}\sqrt{\frac{T_{B,0}}{T_{A,0}}} =\sqrt{T_{A,0}T_{B,0}}, W_{\mathrm{rev}}=-C\left(\sqrt{T_{A,0}}-\sqrt{T_{B,0}}\right)^2<0, |W_{\mathrm{rev}}|=C\left(T_{A,0}+T_{B,0} -2\sqrt{T_{A,0}T_{B,0}}\right) =C\left(\sqrt{T_{A,0}}-\sqrt{T_{B,0}}\right)^2>0.

Reconhece-se a identidade $a^2+b^2-2ab=(a-b)^2$ . O trabalho anula-se se as temperaturas iniciais forem iguais.

Questão 4. A capacidade térmica dada é por unidade de massa. A capacidade térmica total de cada bloco é então

C=mc=1{,}0\times450=450\ \mathrm{J\,K^{-1}}.

As temperaturas dentro das raízes quadradas devem ser expressas em kelvin:

T_{A,0}=60+273{,}15=333{,}15\ \mathrm K,\qquad T_{B,0}=20+273{,}15=293{,}15\ \mathrm K.

Substituindo no resultado da questão 3,

|W_{\mathrm{rev}}| =450\left(\sqrt{333{,}15}-\sqrt{293{,}15}\right)^2 \simeq575\ \mathrm J=0{,}575\ \mathrm{kJ}.

O trabalho máximo recuperável é, portanto, cerca de $0{,}58\ \mathrm{kJ}$ . Na convenção do banqueiro, o trabalho recebido pela máquina é $W_{\mathrm{rev}}\simeq-575\ \mathrm J$ : o sinal negativo indica que transfere esta energia para o exterior.