Exercício resolvido de termodinâmica

Mistura de duas massas de água

Exercício 3 · Lição 2 — História da termodinâmica e da calorimetria

calorimetria
mistura
capacidade térmica
calor específico
Joseph Black
temperatura de equilíbrio

Enunciado

Deitam-se $m_1=0{,}200\,\text{kg}$ de água a $T_1=80\,^\circ\text{C}$ num recipiente que já contém $m_2=0{,}300\,\text{kg}$ de água a $T_2=15\,^\circ\text{C}$ . O recipiente é um calorímetro ideal: desprezam-se as perdas de calor para o exterior e a capacidade térmica do próprio recipiente. Recorda-se a relação

Q=mc\Delta T,

em que $c=4{,}18\times10^3\,\text{J}\!\cdot\!\text{kg}^{-1}\!\cdot\!\text{K}^{-1}$ é a capacidade térmica mássica da água líquida.

Justificar que o calor cedido pela água quente é integralmente recebido pela água fria. Escrever a equação de conservação que envolve $m_1$ , $m_2$ , $c$ , $T_1$ , $T_2$ e a temperatura de equilíbrio $T_{eq}$ .
Deduzir a expressão de $T_{eq}$ e calcular o seu valor numérico.
Calcular a quantidade de calor $Q$ cedida pela água quente durante a mistura.
Permitem estas misturas de uma mesma substância determinar o valor de $c$ ? Justificar.

Dica

Como o calorímetro é isolado e rígido, conserva-se a energia interna total

U_1+U_2

: o calor cedido por uma parte é recebido pela outra, com sinal oposto.

Solução detalhada

Solução

1. Como o calorímetro está isolado do exterior (as paredes são adiabáticas e rígidas), conserva-se a energia interna total do sistema formado pela água quente e pela água fria: o que uma perde, a outra recebe exatamente. Assim,

Q_{1,\textrm{recebido}}=-Q_{2,\textrm{recebido}}

, ou

Q_{1,\textrm{recebido}}+Q_{2,\textrm{recebido}}=0

. Aplicando a convenção

Q=mc\Delta T

a cada massa de água entre o estado inicial e o equilíbrio, obtém-se

m_1c(T_{eq}-T_1)+m_2c(T_{eq}-T_2)=0.

2. O fator comum $c$ simplifica-se, obtendo-se

T_{eq}=\frac{m_1T_1+m_2T_2}{m_1+m_2} =\frac{0{,}200\times80+0{,}300\times15}{0{,}200+0{,}300} =41\,^\circ\text{C}.

3. O calor cedido pela água quente é

Q_{1,\textrm{cedido}}=-Q_{1,\textrm{recebido}}=m_1c(T_1-T_{eq}) =0{,}200\times4{,}18\times10^3\times(80-41) \approx3{,}26\times10^4\,\text{J}.

A água fria recebe exatamente a mesma quantidade:

Q_{2,\textrm{recebido}}=m_2c(T_{eq}-T_2) =0{,}300\times4{,}18\times10^3\times26 \approx3{,}26\times10^4\,\text{J}.

4. Não. Para duas massas da mesma substância, o mesmo coeficiente $c$ multiplica os dois termos do balanço e simplifica-se. A temperatura de equilíbrio medida não depende, portanto, de $c$ : é apenas a média das temperaturas iniciais ponderada pelas massas. Para medir uma capacidade térmica mássica pelo método das misturas, é necessário introduzir uma substância de capacidade conhecida, como no exercício seguinte.