Exercício resolvido de termodinâmica

A evapotranspiração de uma árvore de grande porte: um climatizador natural?

Exercício 2 · Lição 2 — História da termodinâmica e da calorimetria

  • ordem de grandeza
  • evapotranspiração
  • árvore
  • calor latente
  • potência frigorífica
  • climatizador
  • COP

Enunciado

Num dia quente e seco, uma árvore de grande porte com água suficiente pode evapotranspirar cerca de 500 L=5,0×10−1 m3500\,\text{L}=5{,}0\times10^{-1}\,\text{m}^3 de água. Como a transpiração ocorre principalmente na presença de luz, supõe-se que se distribui ao longo de doze horas. A copa da árvore cobre no solo uma área Atree=50 m2A_{\text{tree}}=50\,\text{m}^2. São dadas a massa volúmica da água e o seu calor latente de vaporização à pressão atmosférica:

ρwater=1,0×103 kg ⁣⋅ ⁣m−3,Lv=2,45×106 J ⁣⋅ ⁣kg−1.\rho_{\text{water}}=1{,}0\times10^3\,\text{kg}\!\cdot\!\text{m}^{-3}, \qquad L_v=2{,}45\times10^6\,\text{J}\!\cdot\!\text{kg}^{-1}.
  1. Calcular a massa de água evapotranspirada pela árvore durante o dia e a energia necessária para a vaporizar.
  2. Explicar por que razão este processo produz um efeito de arrefecimento.
  3. Calcular a potência média de arrefecimento da árvore por metro quadrado durante as doze horas de transpiração ativa.
  4. Para comparação, considere um climatizador alimentado por uma potência elétrica Pel=2,0×103 WP_{\mathrm{el}}=2{,}0\times10^3\,\text{W}, com coeficiente de desempenho frigorífico COP=3,0\mathrm{COP}=3{,}0, que arrefece uma divisão de área Adiv=20 m2A_{\text{div}}=20\,\text{m}^2. Por definição, COP=Pfrio/Pel\mathrm{COP}=P_{\text{frio}}/P_{\mathrm{el}}. Calcular a potência frigorífica e a potência frigorífica por metro quadrado, comparando-as com os resultados da árvore.
  5. Por que não se pode concluir que a árvore e o climatizador produzem exatamente a mesma sensação de arrefecimento, mesmo que as potências por unidade de área tenham a mesma ordem de grandeza?
  6. É possível arrefecer uma casa com muitas plantas de interior? (Cultura geral: a resposta depende de processos biológicos.)

Dica
Utilizar m=ρVm=\rho V, Qevap=mLvQ_{\mathrm{evap}}=mL_v e P=Q/τP=Q/\tau. Para o climatizador, Pfrio=COP PelP_{\text{frio}}=\mathrm{COP}\,P_{\mathrm{el}}.

Solução detalhada

Solução
1. A massa de água correspondente é

m=ρwaterV=1,0×103×5,0×10−1=5,0×102 kg.m=\rho_{\text{water}}V =1{,}0\times10^3\times5{,}0\times10^{-1} =5{,}0\times10^2\,\text{kg}.

A energia necessária para vaporizar esta água é

Qevap=mLv=5,0×102×2,45×106=1,225×109 J.Q_{\mathrm{evap}}=mL_v =5{,}0\times10^2\times2{,}45\times10^6 =1{,}225\times10^9\,\text{J}.

A ordem de grandeza é, portanto, um gigajoule.

2. A vaporização é uma mudança de estado endotérmica: requer a energia QevapQ_{\mathrm{evap}}, retirada das folhas, do solo e do ar circundante. Esta extração de calor reduz a temperatura das folhas e do ambiente próximo, originando o efeito de arrefecimento da evapotranspiração.

3. Doze horas correspondem a

τ=12×3600=4,32×104 s.\tau=12\times3600=4{,}32\times10^4\,\text{s}.

A potência média de arrefecimento da árvore nesse período é

Ptree=Qevapτ=1,225×1094,32×104≈2,84×104 W.P_{\text{tree}}=\frac{Q_{\mathrm{evap}}}{\tau} =\frac{1{,}225\times10^9}{4{,}32\times10^4} \approx2{,}84\times10^4\,\text{W}.

Por unidade da área coberta pela copa,

PtreeAtree=2,84×10450≈5,7×102 W ⁣⋅ ⁣m−2.\frac{P_{\text{tree}}}{A_{\text{tree}}} =\frac{2{,}84\times10^4}{50} \approx5{,}7\times10^2\,\text{W}\!\cdot\!\text{m}^{-2}.

4. A potência frigorífica útil do climatizador é

Pfrio=COP Pel=3,0×2,0×103=6,0×103 W.P_{\text{frio}}=\mathrm{COP}\,P_{\mathrm{el}} =3{,}0\times2{,}0\times10^3 =6{,}0\times10^3\,\text{W}.

Por unidade de área da divisão,

PfrioAdiv=6,0×10320=3,0×102 W ⁣⋅ ⁣m−2.\frac{P_{\text{frio}}}{A_{\text{div}}} =\frac{6{,}0\times10^3}{20} =3{,}0\times10^2\,\text{W}\!\cdot\!\text{m}^{-2}.

Neste modelo, a potência de evapotranspiração da árvore por unidade de área é quase duas vezes superior à de um climatizador comum.

5. A comparação diz respeito apenas a fluxos de energia. O climatizador arrefece um volume fechado e controlado, enquanto o vapor produzido pela árvore se dispersa na atmosfera e o vento traz ar quente. O efeito sentido depende da ventilação, da humidade, da temperatura ambiente e da distância à árvore. A transpiração varia também com a radiação solar, o vento, a humidade do ar, a espécie e a água disponível, podendo diminuir muito durante uma seca. Por outro lado, a árvore proporciona sombra, reduzindo diretamente a radiação solar recebida pelo solo e pelas pessoas. As potências calculadas permitem comparar ordens de grandeza, mas não estabelecer uma equivalência exata de conforto térmico.

6. Na prática, o efeito de arrefecimento das plantas de interior seria muito reduzido. Na maioria das plantas, a luz favorece a abertura dos estomas, pequenos poros das folhas por onde escapa o vapor de água. A iluminação interior é geralmente fraca: os estomas abrem menos e a transpiração diminui. Além disso, numa divisão pouco ventilada, o aumento da humidade do ar abranda progressivamente a evaporação.

Muitas plantas podem, portanto, produzir um ligeiro arrefecimento evaporativo local, mas não substituem um climatizador. Para retirar energia da habitação de modo duradouro, seria necessário renovar o ar húmido para o exterior. Uma iluminação artificial intensa poderia estimular a transpiração, mas a sua energia elétrica acabaria quase inteiramente sob a forma de calor na divisão. As plantas CAM adaptadas a ambientes áridos, incluindo os cactos, constituem uma exceção: os seus estomas abrem sobretudo à noite.