Exercício resolvido de termodinâmica

Integrar uma forma diferencial ao longo de um caminho

Exercício 6 · Lição 4 — O primeiro princípio da termodinâmica

forma diferencial
diferencial exata
critério de Schwarz
integral de linha

Versão de trabalho — este exercício ainda está em revisão.

Enunciado

Consideram-se as duas formas diferenciais

\omega_1=y\,\mathrm{d}x+x\,\mathrm{d}y,\qquad \omega_2=y\,\mathrm{d}x,

e três caminhos que ligam a origem $O(0,0)$ ao ponto $M(1,1)$ : $\gamma_1$ , formado pelo segmento horizontal $O\to(1,0)$ seguido do vertical $(1,0)\to M$ ; $\gamma_2$ , formado pelo segmento vertical $O\to(0,1)$ seguido do horizontal $(0,1)\to M$ ; e $\gamma_3$ , o segmento de reta que liga diretamente $O$ a $M$ .

Mostrar que $\omega_1$ é exata, encontrando uma função $f$ tal que $\omega_1=\mathrm{d}f$ .
Calcular $\int_{\gamma_1}\omega_1$ e $\int_{\gamma_2}\omega_1$ parametrizando cada segmento. Recuperar o resultado sem cálculo.
Aplicar o critério de Schwarz a $\omega_2$ . Que se pode concluir?
Calcular $\int_{\gamma_1}\omega_2$ , $\int_{\gamma_2}\omega_2$ e $\int_{\gamma_3}\omega_2$ . Comentar.

Dica

Num segmento horizontal

\mathrm{d}y=0

e num segmento vertical

\mathrm{d}x=0

: cada integral reduz-se a uma integral simples.

Solução detalhada

Solução

Questão 1. A função

f(x,y)=xy

serve, pois

\partial f/\partial x=y

\partial f/\partial y=x

Questão 2. Para uma curva parametrizada por $t\mapsto\bigl(x(t),y(t)\bigr)$ ,

\int_\gamma\omega_1=\int\left[y(t)x'(t)+x(t)y'(t)\right]\,\mathrm{d}t.

O caminho $\gamma_1$ é a união de dois segmentos. No primeiro, $x(t)=t$ e $y(t)=0$ , com $t\in[0,1]$ ; logo, $\mathrm{d}x=\mathrm{d}t$ e $\mathrm{d}y=0$ . No segundo, $x(t)=1$ e $y(t)=t$ , também com $t\in[0,1]$ ; logo, $\mathrm{d}x=0$ e $\mathrm{d}y=\mathrm{d}t$ . Assim,

\begin{aligned}I_1=\int_{\gamma_1}\omega_1 &=\int_0^1(0\times1+t\times0)\,\mathrm{d}t+\int_0^1(t\times0+1\times1)\,\mathrm{d}t\\ &=0+\int_0^1\mathrm{d}t=1.\end{aligned}

Para $\gamma_2$ , o primeiro segmento é parametrizado por $x(t)=0$ , $y(t)=t$ , e o segundo por $x(t)=t$ , $y(t)=1$ , com $t\in[0,1]$ nos dois casos. Portanto,

\begin{aligned}I_2=\int_{\gamma_2}\omega_1 &=\int_0^1(t\times0+0\times1)\,\mathrm{d}t+\int_0^1(1\times1+t\times0)\,\mathrm{d}t\\ &=0+\int_0^1\mathrm{d}t=1.\end{aligned}

Os valores coincidem. Isto podia prever-se sem cálculo: como $\omega_1=\mathrm{d}f$ com $f(x,y)=xy$ , o integral depende apenas dos extremos,

\int_\gamma\omega_1=f(M)-f(O)=f(1,1)-f(0,0)=1.

Questão 3. Escrevamos $\omega_2=A(x,y)\,\mathrm{d}x+B(x,y)\,\mathrm{d}y$ . Aqui $A(x,y)=y$ e $B(x,y)=0$ . Se a forma fosse exata, o critério de Schwarz daria

\frac{\partial A}{\partial y}=\frac{\partial B}{\partial x}.

Ora, $\partial A/\partial y=1$ , ao passo que $\partial B/\partial x=0$ . As derivadas cruzadas diferem, portanto $\omega_2$ não é exata. O seu integral pode depender do caminho seguido entre $O$ e $M$ , como confirma o cálculo seguinte.

Questão 4. Como $\omega_2=y\,\mathrm{d}x$ , só uma variação de $x$ efetuada para um valor não nulo de $y$ pode contribuir para o integral. Com as parametrizações anteriores, em $\gamma_1$ obtém-se

\begin{aligned}J_1=\int_{\gamma_1}\omega_2&=\int_0^1 0\times1\,\mathrm{d}t+\int_0^1 t\times0\,\mathrm{d}t\\&=0.\end{aligned}

Em $\gamma_2$ , o primeiro segmento satisfaz $x(t)=0$ , pelo que $\mathrm{d}x=0$ ; no segundo, $x(t)=t$ , $y(t)=1$ e $\mathrm{d}x=\mathrm{d}t$ . Assim,

\begin{aligned}J_2=\int_{\gamma_2}\omega_2&=\int_0^1 t\times0\,\mathrm{d}t+\int_0^1 1\times1\,\mathrm{d}t\\&=1.\end{aligned}

Por fim, o segmento diagonal $\gamma_3$ é parametrizado por

x(t)=t,\qquad y(t)=t,\qquad t\in[0,1],

donde $\mathrm{d}x=\mathrm{d}t$ e $\mathrm{d}y=\mathrm{d}t$ . Vem então

J_3=\int_{\gamma_3}\omega_2=\int_0^1 y(t)x'(t)\,\mathrm{d}t=\int_0^1 t\,\mathrm{d}t=\frac12.

Os três caminhos têm os mesmos extremos, mas dão três valores diferentes: $J_1=0$ , $J_2=1$ e $J_3=1/2$ . É precisamente a dependência do caminho característica de uma forma diferencial não exata.