Integrar uma forma diferencial ao longo de um caminho

Questão 1. A função $f(x,y)=xy$ serve, pois $\partial f/\partial x=y$ e $\partial f/\partial y=x$. Questão 2. Para uma curva parametrizada por $t\mapsto\bigl(x(t),y(t)\bigr)$,

$$\int_\gamma\omega_1=\int\left[y(t)x'(t)+x(t)y'(t)\right]\,\mathrm{d}t.$$

O caminho $\gamma_1$ é a união de dois segmentos. No primeiro, $x(t)=t$ e $y(t)=0$, com $t\in[0,1]$; logo, $\mathrm{d}x=\mathrm{d}t$ e $\mathrm{d}y=0$. No segundo, $x(t)=1$ e $y(t)=t$, também com $t\in[0,1]$; logo, $\mathrm{d}x=0$ e $\mathrm{d}y=\mathrm{d}t$. Assim,

$$\begin{aligned}I_1=\int_{\gamma_1}\omega_1 &=\int_0^1(0\times1+t\times0)\,\mathrm{d}t+\int_0^1(t\times0+1\times1)\,\mathrm{d}t\\ &=0+\int_0^1\mathrm{d}t=1.\end{aligned}$$

Para $\gamma_2$, o primeiro segmento é parametrizado por $x(t)=0$, $y(t)=t$, e o segundo por $x(t)=t$, $y(t)=1$, com $t\in[0,1]$ nos dois casos. Portanto,

$$\begin{aligned}I_2=\int_{\gamma_2}\omega_1 &=\int_0^1(t\times0+0\times1)\,\mathrm{d}t+\int_0^1(1\times1+t\times0)\,\mathrm{d}t\\ &=0+\int_0^1\mathrm{d}t=1.\end{aligned}$$

Os valores coincidem. Isto podia prever-se sem cálculo: como $\omega_1=\mathrm{d}f$ com $f(x,y)=xy$, o integral depende apenas dos extremos,

$$\int_\gamma\omega_1=f(M)-f(O)=f(1,1)-f(0,0)=1.$$ Questão 3. Escrevamos $\omega_2=A(x,y)\,\mathrm{d}x+B(x,y)\,\mathrm{d}y$. Aqui $A(x,y)=y$ e $B(x,y)=0$. Se a forma fosse exata, o critério de Schwarz daria $$\frac{\partial A}{\partial y}=\frac{\partial B}{\partial x}.$$

Ora, $\partial A/\partial y=1$, ao passo que $\partial B/\partial x=0$. As derivadas cruzadas diferem, portanto $\omega_2$ não é exata. O seu integral pode depender do caminho seguido entre $O$ e $M$, como confirma o cálculo seguinte.

Questão 4. Como $\omega_2=y\,\mathrm{d}x$, só uma variação de $x$ efetuada para um valor não nulo de $y$ pode contribuir para o integral. Com as parametrizações anteriores, em $\gamma_1$ obtém-se

$$\begin{aligned}J_1=\int_{\gamma_1}\omega_2&=\int_0^1 0\times1\,\mathrm{d}t+\int_0^1 t\times0\,\mathrm{d}t\\&=0.\end{aligned}$$

Em $\gamma_2$, o primeiro segmento satisfaz $x(t)=0$, pelo que $\mathrm{d}x=0$; no segundo, $x(t)=t$, $y(t)=1$ e $\mathrm{d}x=\mathrm{d}t$. Assim,

$$\begin{aligned}J_2=\int_{\gamma_2}\omega_2&=\int_0^1 t\times0\,\mathrm{d}t+\int_0^1 1\times1\,\mathrm{d}t\\&=1.\end{aligned}$$

Por fim, o segmento diagonal $\gamma_3$ é parametrizado por

$$x(t)=t,\qquad y(t)=t,\qquad t\in[0,1],$$

donde $\mathrm{d}x=\mathrm{d}t$ e $\mathrm{d}y=\mathrm{d}t$. Vem então

$$J_3=\int_{\gamma_3}\omega_2=\int_0^1 y(t)x'(t)\,\mathrm{d}t=\int_0^1 t\,\mathrm{d}t=\frac12.$$

Os três caminhos têm os mesmos extremos, mas dão três valores diferentes: $J_1=0$, $J_2=1$ e $J_3=1/2$. É precisamente a dependência do caminho característica de uma forma diferencial não exata.