Exercício resolvido de termodinâmica

Atmosfera isotérmica e potencial químico

Exercício 41 · Lição 8 — Sentido das evoluções, equilíbrio e estabilidade

potencial químico
atmosfera
lei barométrica
gravidade
gás ideal

Enunciado

Para uma mole de ar à altitude $z$ , é dado o potencial químico generalizado

μ (T, P, z) = μ^{\circ} (T) + R T ln (\frac{P}{P ^{\circ}}) + M g z,

em que $M$ é a massa molar do ar. Supõe-se que a atmosfera é isotérmica.

Explicar porque é que $μ$ tem de ser independente de $z$ no equilíbrio.
Deduzir a equação diferencial satisfeita por $P (z)$ e, depois, a lei barométrica.
Estimar $P (h) / P (0)$ para $h = 8, 85 km$ , $T = 260 K$ , $M = 29, 0 g mo l^{- 1}$ e $g = 9, 81 m s^{- 2}$ .
Indicar uma limitação importante deste modelo.

Dica

No equilíbrio, deslocar uma pequena quantidade de matéria de uma altitude para outra não deve alterar a energia livre em primeira ordem.

Solução detalhada

Solução

1. Se

μ

fosse maior numa altitude do que noutra, uma transferência de matéria para a região de potencial mais baixo diminuiria a energia livre. O equilíbrio impõe, portanto,

d μ = 0

. 2. A temperatura constante,

0 = d μ = R T \frac{d P}{P} + M g d z .

Assim, $d P / P = - (M g / R T) d z$ . Integrando de $0$ a $z$ ,

\int_{P (0)}^{P (z)} \frac{d P}{P} = - \frac{M g}{R T} \int_{0}^{z} d z,

donde

P (z) = P (0) exp (- \frac{M g z}{R T}) .

3. Em unidades SI, a massa molar vale $M = 2, 90 \times 1 0^{- 2} kg mo l^{- 1}$ . O expoente é

\frac{M g h}{R T} = \frac{2 , 90 \times 1 0 ^{- 2} \times 9 , 81 \times 8 , 85 \times 1 0 ^{3}}{8 , 314 \times 260} ≃ 1, 17.

Logo, $P (h) / P (0) = e^{- 1, 17} ≃ 0, 31$ .

4. A temperatura real da atmosfera varia com a altitude. O modelo isotérmico dá uma ordem de grandeza útil, mas não um perfil preciso; despreza também a humidade e a variação de composição.