Exercício resolvido de termodinâmica

Do gelo frio à água em ebulição: ordens de grandeza

Exercício 1 · Lição 2 — História da termodinâmica e da calorimetria

  • calorimetria
  • mudança de estado
  • fusão
  • vaporização
  • calor latente
  • ordem de grandeza

Enunciado

Dados numéricos (à pressão atmosférica):

cgelo=2,1×103 J ⁣⋅ ⁣kg−1 ⁣⋅ ⁣K−1,Lf=3,34×105 J ⁣⋅ ⁣kg−1,cwater=4,18×103 J ⁣⋅ ⁣kg−1 ⁣⋅ ⁣K−1,Lv=2,26×106 J ⁣⋅ ⁣kg−1.\begin{aligned} c_{\text{gelo}} &= 2{,}1\times10^3\,\text{J}\!\cdot\!\text{kg}^{-1}\!\cdot\!\text{K}^{-1}, & L_f &= 3{,}34\times10^5\,\text{J}\!\cdot\!\text{kg}^{-1},\\ c_{\text{water}} &= 4{,}18\times10^3\,\text{J}\!\cdot\!\text{kg}^{-1}\!\cdot\!\text{K}^{-1}, & L_v &= 2{,}26\times10^6\,\text{J}\!\cdot\!\text{kg}^{-1}. \end{aligned}

À pressão atmosférica, aquece-se progressivamente um quilograma de gelo, inicialmente a −100 ∘C-100\,{}^\circ\text{C}.

  1. Calcular a energia necessária para levar o gelo de −100 ∘C-100\,{}^\circ\text{C} a 0 ∘C0\,{}^\circ\text{C}.
  2. Calcular a energia necessária para fundir completamente o gelo a 0 ∘C0\,{}^\circ\text{C}.
  3. Calcular a energia necessária para aquecer a água líquida de 0 ∘C0\,{}^\circ\text{C} a 100 ∘C100\,{}^\circ\text{C}.
  4. Calcular a energia adicional necessária para vaporizar completamente a água a 100 ∘C100\,{}^\circ\text{C}.
  5. Qual das etapas requer mais energia? Comparar a energia necessária para aquecer um quilograma de água de 0 ∘C0\,{}^\circ\text{C} a 100 ∘C100\,{}^\circ\text{C} com a energia potencial de uma massa mm que cai de uma altura de dez metros. Que massa mm deve cair para igualar essa energia?
  6. Considere agora o processo inverso. Uma massa mvm_v de vapor de água condensa-se num para-brisas, sem que a água líquida obtida arrefeça em seguida. Exprimir o calor QlibQ_{\text{lib}} libertado durante a condensação e calculá-lo para mv=1,0×10−2 kgm_v=1{,}0\times10^{-2}\,\text{kg}. À temperatura do para-brisas, tome Lv=2,45×106 J ⁣⋅ ⁣kg−1L_v=2{,}45\times10^6\,\text{J}\!\cdot\!\text{kg}^{-1}.

Dica
Para aquecer uma fase sem mudança de estado, utilizar Q=mcΔTQ=mc\Delta T. Para uma mudança de estado a temperatura constante, utilizar Q=mLQ=mL. A energia potencial gravítica de uma massa mm situada a uma altura hh é Ep=mghE_p=mgh; tome g=9,81 m ⁣⋅ ⁣s−2g=9{,}81\,\text{m}\!\cdot\!\text{s}^{-2}.

Solução detalhada

Solução
1. O aquecimento do gelo até à sua temperatura de fusão requer

Q1=mcgeloΔT=1,0×2,1×103×100=2,1×105 J.Q_1=mc_{\text{gelo}}\Delta T =1{,}0\times2{,}1\times10^3\times100 =2{,}1\times10^5\,\text{J}.

2. Durante a fusão, a temperatura permanece igual a 0 ∘C0\,{}^\circ\text{C}:

Q2=mLf=1,0×3,34×105=3,34×105 J.Q_2=mL_f=1{,}0\times3{,}34\times10^5 =3{,}34\times10^5\,\text{J}.

3. Para aquecer a água líquida de 00 a 100 ∘C100\,{}^\circ\text{C},

Q3=mcwaterΔT=1,0×4,18×103×100=4,18×105 J.Q_3=mc_{\text{water}}\Delta T =1{,}0\times4{,}18\times10^3\times100 =4{,}18\times10^5\,\text{J}.

4. A vaporização completa requer ainda

Q4=mLv=1,0×2,26×106=2,26×106 J.Q_4=mL_v=1{,}0\times2{,}26\times10^6 =2{,}26\times10^6\,\text{J}.

Só esta etapa requer, portanto, uma energia da ordem de alguns megajoules.

5. A vaporização é, de longe, a etapa mais dispendiosa em energia:

Q4=2,26×106 J>Q3=4,18×105 J>Q2=3,34×105 J>Q1=2,1×105 J.Q_4=2{,}26\times10^6\,\text{J} >Q_3=4{,}18\times10^5\,\text{J} >Q_2=3{,}34\times10^5\,\text{J} >Q_1=2{,}1\times10^5\,\text{J}.

Em particular, a vaporização exige cerca de (2,26×106)/(4,18×105)≈5,4(2{,}26\times10^6)/(4{,}18\times10^5)\approx5{,}4 vezes mais energia do que o aquecimento da água líquida de 00 a 100 ∘C100\,{}^\circ\text{C}.

Para uma massa mm que cai de uma altura h=10 mh=10\,\text{m}, Ep=mghE_p=mgh. Impondo mgh=Q3mgh=Q_3, obtém-se

m=Q3gh=4,18×1059,81×10≈4,26×103 kg.m=\frac{Q_3}{gh} =\frac{4{,}18\times10^5}{9{,}81\times10} \approx4{,}26\times10^3\,\text{kg}.

Seria necessário fazer cair de dez metros uma massa de cerca de 4,34{,}3 toneladas para libertar tanta energia como a necessária para aquecer um quilograma de água de 00 a 100 ∘C100\,{}^\circ\text{C}! É enorme e explica por que razão o aquecimento da água representa uma parte importante do consumo energético doméstico. A água possui também uma capacidade térmica mássica muito elevada, sobretudo em comparação com os metais correntes: é, por exemplo, cerca de dez vezes superior à do cobre (ver os exercícios seguintes).

6. A condensação é o processo inverso da vaporização: o vapor cede ao para-brisas o calor latente

Qlib=mvLv.Q_{\text{lib}}=m_vL_v.

Para mv=1,0×10−2 kgm_v=1{,}0\times10^{-2}\,\text{kg},

Qlib=1,0×10−2×2,45×106=2,45×104 J.Q_{\text{lib}}=1{,}0\times10^{-2}\times2{,}45\times10^6 =2{,}45\times10^4\,\text{J}.

Assim, a condensação de uma pequena massa de vapor pode libertar uma quantidade de calor não desprezável. Esse calor é recebido pelo para-brisas e pelo ambiente que o rodeia.