Rozwiązane zadanie z termodynamiki

Od zimnego lodu do wrzącej wody: rzędy wielkości

Ćwiczenie 1 · Lekcja 2 — Historia termodynamiki i kalorymetrii

  • kalorymetria
  • przemiana fazowa
  • topnienie
  • parowanie
  • ciepło utajone
  • rząd wielkości

Treść zadania

Dane liczbowe (przy ciśnieniu atmosferycznym):

clodu=2,1×103 J ⁣⋅ ⁣kg−1 ⁣⋅ ⁣K−1,Lf=3,34×105 J ⁣⋅ ⁣kg−1,cwody=4,18×103 J ⁣⋅ ⁣kg−1 ⁣⋅ ⁣K−1,Lv=2,26×106 J ⁣⋅ ⁣kg−1.\begin{aligned} c_{\text{lodu}} &= 2{,}1\times10^3\,\text{J}\!\cdot\!\text{kg}^{-1}\!\cdot\!\text{K}^{-1}, & L_f &= 3{,}34\times10^5\,\text{J}\!\cdot\!\text{kg}^{-1},\\ c_{\text{wody}} &= 4{,}18\times10^3\,\text{J}\!\cdot\!\text{kg}^{-1}\!\cdot\!\text{K}^{-1}, & L_v &= 2{,}26\times10^6\,\text{J}\!\cdot\!\text{kg}^{-1}. \end{aligned}

Przy ciśnieniu atmosferycznym stopniowo ogrzewa się kilogram lodu o temperaturze początkowej −100 ∘C-100\,{}^\circ\text{C}.

  1. Obliczyć energię potrzebną do ogrzania lodu od −100 ∘C-100\,{}^\circ\text{C} do 0 ∘C0\,{}^\circ\text{C}.
  2. Obliczyć energię potrzebną do całkowitego stopienia lodu w temperaturze 0 ∘C0\,{}^\circ\text{C}.
  3. Obliczyć energię potrzebną do ogrzania ciekłej wody od 0 ∘C0\,{}^\circ\text{C} do 100 ∘C100\,{}^\circ\text{C}.
  4. Obliczyć dodatkową energię potrzebną do całkowitego odparowania wody w temperaturze 100 ∘C100\,{}^\circ\text{C}.
  5. Który etap wymaga najwięcej energii? Porównać energię potrzebną do ogrzania kilograma wody od 0 ∘C0\,{}^\circ\text{C} do 100 ∘C100\,{}^\circ\text{C} z energią potencjalną masy mm spadającej z wysokości dziesięciu metrów. Jaka masa mm musi spaść, aby uwolnić taką samą energię?
  6. Rozważyć teraz proces odwrotny. Masa mvm_v pary wodnej skrapla się na szybie samochodowej, a otrzymana woda nie ochładza się następnie. Wyrazić ciepło QwydQ_{\text{wyd}} wydzielone podczas skraplania i obliczyć je dla mv=1,0×10−2 kgm_v=1{,}0\times10^{-2}\,\text{kg}. Dla temperatury szyby przyjąć Lv=2,45×106 J ⁣⋅ ⁣kg−1L_v=2{,}45\times10^6\,\text{J}\!\cdot\!\text{kg}^{-1}.

Wskazówka
Do ogrzewania fazy bez przemiany fazowej użyć Q=mcΔTQ=mc\Delta T. Dla przemiany fazowej w stałej temperaturze użyć Q=mLQ=mL. Energia potencjalna grawitacyjna masy mm na wysokości hh wynosi Ep=mghE_p=mgh; przyjąć g=9,81 m ⁣⋅ ⁣s−2g=9{,}81\,\text{m}\!\cdot\!\text{s}^{-2}.

Szczegółowe rozwiązanie

Rozwiązanie
1. Ogrzanie lodu do temperatury topnienia wymaga

Q1=mcloduΔT=1,0×2,1×103×100=2,1×105 J.Q_1=mc_{\text{lodu}}\Delta T =1{,}0\times2{,}1\times10^3\times100 =2{,}1\times10^5\,\text{J}.

2. Podczas topnienia temperatura pozostaje równa 0 ∘C0\,{}^\circ\text{C}:

Q2=mLf=1,0×3,34×105=3,34×105 J.Q_2=mL_f=1{,}0\times3{,}34\times10^5 =3{,}34\times10^5\,\text{J}.

3. Do ogrzania ciekłej wody od 00 do 100 ∘C100\,{}^\circ\text{C} potrzeba

Q3=mcwodyΔT=1,0×4,18×103×100=4,18×105 J.Q_3=mc_{\text{wody}}\Delta T =1{,}0\times4{,}18\times10^3\times100 =4{,}18\times10^5\,\text{J}.

4. Całkowite odparowanie wymaga ponadto

Q4=mLv=1,0×2,26×106=2,26×106 J.Q_4=mL_v=1{,}0\times2{,}26\times10^6 =2{,}26\times10^6\,\text{J}.

Sam ten etap wymaga więc energii rzędu kilku megadżuli.

5. Parowanie jest zdecydowanie najbardziej energochłonnym etapem:

Q4=2,26×106 J>Q3=4,18×105 J>Q2=3,34×105 J>Q1=2,1×105 J.Q_4=2{,}26\times10^6\,\text{J} >Q_3=4{,}18\times10^5\,\text{J} >Q_2=3{,}34\times10^5\,\text{J} >Q_1=2{,}1\times10^5\,\text{J}.

Parowanie wymaga w szczególności około (2,26×106)/(4,18×105)≈5,4(2{,}26\times10^6)/(4{,}18\times10^5)\approx5{,}4 razy więcej energii niż ogrzanie ciekłej wody od 00 do 100 ∘C100\,{}^\circ\text{C}.

Dla masy mm spadającej z wysokości h=10 mh=10\,\text{m} mamy Ep=mghE_p=mgh. Z warunku mgh=Q3mgh=Q_3 wynika

m=Q3gh=4,18×1059,81×10≈4,26×103 kg.m=\frac{Q_3}{gh} =\frac{4{,}18\times10^5}{9{,}81\times10} \approx4{,}26\times10^3\,\text{kg}.

Z wysokości dziesięciu metrów musiałaby zatem spaść masa około 4,34{,}3 tony, aby uwolnić tyle energii, ile potrzeba do ogrzania jednego kilograma wody od 00 do 100 ∘C100\,{}^\circ\text{C}! To ogromna wartość i wyjaśnia, dlaczego ogrzewanie wody stanowi istotną część domowego zużycia energii. Woda ma także bardzo duże ciepło właściwe w porównaniu z typowymi metalami; jest ono na przykład około dziesięć razy większe niż dla miedzi (zob. następne zadania).

6. Skraplanie jest procesem odwrotnym do parowania: para przekazuje szybie ciepło utajone

Qwyd=mvLv.Q_{\text{wyd}}=m_vL_v.

Dla mv=1,0×10−2 kgm_v=1{,}0\times10^{-2}\,\text{kg},

Qwyd=1,0×10−2×2,45×106=2,45×104 J.Q_{\text{wyd}}=1{,}0\times10^{-2}\times2{,}45\times10^6 =2{,}45\times10^4\,\text{J}.

Skroplenie nawet niewielkiej masy pary może więc wydzielić niepomijalną ilość ciepła, które zostaje pochłonięte przez szybę i jej otoczenie.