Rozwiązane zadanie z termodynamiki

Od zimnego lodu do wrzącej wody: rzędy wielkości

Ćwiczenie 1 · Lekcja 2 — Historia termodynamiki i kalorymetrii

kalorymetria
przemiana fazowa
topnienie
parowanie
ciepło utajone
rząd wielkości

Treść zadania

Dane liczbowe (przy ciśnieniu atmosferycznym):

\begin{aligned} c_{\text{lodu}} &= 2{,}1\times10^3\,\text{J}\!\cdot\!\text{kg}^{-1}\!\cdot\!\text{K}^{-1}, & L_f &= 3{,}34\times10^5\,\text{J}\!\cdot\!\text{kg}^{-1},\\ c_{\text{wody}} &= 4{,}18\times10^3\,\text{J}\!\cdot\!\text{kg}^{-1}\!\cdot\!\text{K}^{-1}, & L_v &= 2{,}26\times10^6\,\text{J}\!\cdot\!\text{kg}^{-1}. \end{aligned}

Przy ciśnieniu atmosferycznym stopniowo ogrzewa się kilogram lodu o temperaturze początkowej $-20\,{}^\circ\text{C}$ .

Obliczyć energię potrzebną do ogrzania lodu od $-20\,{}^\circ\text{C}$ do $0\,{}^\circ\text{C}$ .
Obliczyć energię potrzebną do całkowitego stopienia lodu w temperaturze $0\,{}^\circ\text{C}$ .
Obliczyć energię potrzebną do ogrzania ciekłej wody od $0\,{}^\circ\text{C}$ do $100\,{}^\circ\text{C}$ .
Obliczyć dodatkową energię potrzebną do całkowitego odparowania wody w temperaturze $100\,{}^\circ\text{C}$ .
Który etap wymaga najwięcej energii? Porównać energię potrzebną do ogrzania kilograma wody od $0\,{}^\circ\text{C}$ do $100\,{}^\circ\text{C}$ z energią potencjalną masy $m$ spadającej z wysokości dziesięciu metrów. Jaka masa $m$ musi spaść, aby uwolnić taką samą energię?
Rozważyć teraz proces odwrotny. Masa $m_v$ pary wodnej skrapla się na szybie samochodowej, a otrzymana woda nie ochładza się następnie. Wyrazić ciepło $Q_{\text{wyd}}$ wydzielone podczas skraplania i obliczyć je dla $m_v=1{,}0\times10^{-2}\,\text{kg}$ .

Wskazówka

Do ogrzewania fazy bez przemiany fazowej użyć

Q=mc\Delta T

. Dla przemiany fazowej w stałej temperaturze użyć

Q=mL

. Energia potencjalna grawitacyjna masy

m

na wysokości

h

wynosi

E_p=mgh

; przyjąć

g=9{,}81\,\text{m}\!\cdot\!\text{s}^{-2}

Szczegółowe rozwiązanie

Rozwiązanie

1. Ogrzanie lodu do temperatury topnienia wymaga

Q_1=mc_{\text{lodu}}\Delta T =1{,}0\times2{,}1\times10^3\times20 =4{,}2\times10^4\,\text{J}.

2. Podczas topnienia temperatura pozostaje równa $0\,{}^\circ\text{C}$ :

Q_2=mL_f=1{,}0\times3{,}34\times10^5 =3{,}34\times10^5\,\text{J}.

3. Do ogrzania ciekłej wody od $0$ do $100\,{}^\circ\text{C}$ potrzeba

Q_3=mc_{\text{wody}}\Delta T =1{,}0\times4{,}18\times10^3\times100 =4{,}18\times10^5\,\text{J}.

4. Całkowite odparowanie wymaga ponadto

Q_4=mL_v=1{,}0\times2{,}26\times10^6 =2{,}26\times10^6\,\text{J}.

Sam ten etap wymaga więc energii rzędu kilku megadżuli.

5. Parowanie jest zdecydowanie najbardziej energochłonnym etapem:

Q_4=2{,}26\times10^6\,\text{J} >Q_3=4{,}18\times10^5\,\text{J} >Q_2=3{,}34\times10^5\,\text{J} >Q_1=4{,}2\times10^4\,\text{J}.

Parowanie wymaga w szczególności około $(2{,}26\times10^6)/(4{,}18\times10^5)\approx5{,}4$ razy więcej energii niż ogrzanie ciekłej wody od $0$ do $100\,{}^\circ\text{C}$ .

Dla masy

m

spadającej z wysokości

h=10\,\text{m}

mamy

E_p=mgh

. Z warunku

mgh=Q_3

wynika

m=\frac{Q_3}{gh} =\frac{4{,}18\times10^5}{9{,}81\times10} \approx4{,}26\times10^3\,\text{kg}.

Z wysokości dziesięciu metrów musiałaby zatem spaść masa około $4{,}3$ tony, aby uwolnić tyle energii, ile potrzeba do ogrzania jednego kilograma wody od $0$ do $100\,{}^\circ\text{C}$ ! To ogromna wartość i wyjaśnia, dlaczego ogrzewanie wody stanowi istotną część domowego zużycia energii. Woda ma także bardzo duże ciepło właściwe w porównaniu z typowymi metalami; jest ono na przykład około dziesięć razy większe niż dla miedzi (zob. następne zadania).

6. Skraplanie jest procesem odwrotnym do parowania: para przekazuje szybie ciepło utajone

Q_{\text{wyd}}=m_vL_v.

Dla $m_v=1{,}0\times10^{-2}\,\text{kg}$ ,

Q_{\text{wyd}}=1{,}0\times10^{-2}\times2{,}26\times10^6 =2{,}26\times10^4\,\text{J}.

Skroplenie nawet niewielkiej masy pary może więc wydzielić niepomijalną ilość ciepła, które zostaje pochłonięte przez szybę i jej otoczenie.