풀이가 있는 열역학 연습문제

비누막을 넓히는 데 필요한 일

연습문제 13 · 단원 4 — 열역학 제1법칙

표면장력
일반화된 일
계면
비누막

문제

평평한 비누막이 직사각형 틀에 걸쳐 있고, 틀의 한 변인 길이 $ℓ$ 의 막대는 마찰 없이 미끄러질 수 있다. 이 막대와 틀의 맞은편 변 사이의 거리 $x$ 가 $x_{A}$ 에서 $x_{B}$ 로 늘어난다. 비누막에는 공기-액체 계면이 두 개 있고, 각 계면의 표면장력 $γ$ 는 일정하다고 가정한다. 가장자리 효과, 무게, 압력 힘의 일은 무시한다. 액체의 부피는 일정하며 액체의 출입은 없다. 변위는 충분히 느려서 역학적 평형이 유지된다. 계면을 만들 때 받는 일은 $δ W = γ d A$ 로 쓰며, $A$ 는 계면의 총 넓이이다.

틀과 막대를 그리고 $x$ , $ℓ$ , 외부에서 당기는 방향을 표시하라. $A (x)$ 와 $d A$ 를 나타내라.
필요한 외력을 구하고, $x$ 가 $x_{A}$ 에서 $x_{B}$ 로 변할 때 받은 일을 계산하라.
$γ = 30 mN m^{- 1}$ , $ℓ = 5, 0 cm$ , $x_{B} - x_{A} = 2, 0 cm$ 일 때 이 힘과 일을 계산하라. 한쪽 면을 빠뜨리면 어떤 오차가 생기는가?
비누막은 열원 덕분에 일정한 온도를 유지한다. $γ$ 와 넓이 변화만 알면 $Δ U$ 와 $Q$ 를 구할 수 있는가?

힌트

각 면의 넓이는

ℓ x

이다. 일

F_{ext} d x

를 두 계면을 만드는 일과 같게 놓아라. 마지막 문제에서는 받은 일과 저장된 에너지를 구별하라.

자세한 풀이

풀이

문제 1. 비누막의 평면 위에 틀을 그리고, 움직이는 막대를

x

방향에 수직하게, 외부에서 당기는 힘을

x

가 증가하는 방향으로 그린다. 각 면의 넓이는

ℓ x

이다. 따라서 총 넓이와 그 변화는

A = 2 ℓ x, d A = 2 ℓ d x

이다. $ℓ$ 은 일정하기 때문이다. 정면에서 본 그림에서는 두 계면이 겹쳐 보이더라도 둘은 서로 다른 계면이다.

문제 2. 받은 일은 두 가지로 쓸 수 있다.

δ W = F_{ext} d x = γ d A = 2 γ ℓ d x .

두 식을 비교하면 $F_{ext} = 2 γ ℓ$ 이다. 비누막의 힘은 이 당기는 힘에 맞선다. $γ$ 와 $ℓ$ 이 일정하므로

W_{A \to B} = \int_{x_{A}}^{x_{B}} 2 γ ℓ d x = 2 γ ℓ [x]_{x_{A}}^{x_{B}} = 2 γ ℓ (x_{B} - x_{A}) > 0.

비누막의 넓이를 늘리려면 일을 공급해야 한다.

문제 3. SI 단위로

γ = 30 \times 1 0^{- 3} N m^{- 1}

ℓ = 5, 0 \times 1 0^{- 2} m

x_{B} - x_{A} = 2, 0 \times 1 0^{- 2} m

이다. 따라서

F_{ext} = 2 (30 \times 1 0^{- 3}) (5, 0 \times 1 0^{- 2}) = 3, 0 \times 1 0^{- 3} N, W_{A \to B} = (3, 0 \times 1 0^{- 3}) (2, 0 \times 1 0^{- 2}) = 6, 0 \times 1 0^{- 5} J = 60 μ J .

단위도 맞는다. $γ ℓ$ 은 힘이고 $γ Δ A$ 는 에너지이다. 한쪽 면을 빠뜨리면 힘과 일을 잘못하여 절반으로 계산하게 된다.

문제 4. 제1법칙이 요구하는 것은

Δ U = Q + γ Δ A

뿐이다. 열원은 온도를 유지하기 위해 열을 공급하거나 받을 수 있다. 비누막의 내부 에너지 모형이 없으면 $Δ U$ 도 $Q$ 도 알 수 없다. 따라서 $γ Δ A$ 를 자동으로 내부 에너지 변화와 같다고 볼 수 없고, 등온이라는 사실에서 $Q = 0$ 을 이끌어 낼 수도 없다.