풀이가 있는 열역학 연습문제

고무줄 늘이기

연습문제 12 · 단원 4 — 열역학 제1법칙

일반화된 일
고무줄
인장
열역학 제1법칙

문제

자연 길이가 $L_{0}$ 인 줄을 이력 현상 없이 천천히 $L_{A}$ 에서 $L_{B}$ 까지 늘인다. 여기서 $L_{0} \leq L_{A} < L_{B}$ 이다. 다루는 범위에서 줄의 평형 장력은

F = K (L - L_{0})

를 따른다. $K > 0$ 는 온도와 무관한 일정한 강성이다. 매 단계마다 외부에서 당기는 힘이 줄의 장력과 평형을 이룬다. 내부 에너지 모형으로

U (T, L) = C (T - T_{⋆}) + \frac{1}{2} K (L - L_{0})^{2} + U_{⋆}

를 택한다. $C$ 는 일정한 총 열용량이고 $T_{⋆}, U_{⋆}$ 는 고정된 기준값이다. 운동 에너지와 중력 위치 에너지의 변화는 무시한다.

줄과 그 고정점, 움직이는 끝, 외부에서 당기는 힘을 그려라. 길이 변화 $d L$ 에 대해 계가 받는 미소 일을 쓰고, $W_{A \to B}$ 를 계산하라.
늘이는 과정은 등온 과정이다. 이 모형에서 $Δ U$ 와 받은 열 $Q_{A \to B}$ 를 계산하라. 일반적으로 등온 과정이면 반드시 $Δ U = 0$ 인가?
같은 인장 법칙을 따라 줄을 $L_{B}$ 에서 $L_{A}$ 로 되돌린다. 되돌아가는 과정과 왕복 전체에서 받은 일을 계산하라. 이 결과가 모든 일이 상태 함수라는 뜻이 아닌 이유는 무엇인가?

힌트

δ W = F_{ext} d L

를 쓰고 변하는 힘을 적분하라. 그다음

Δ U = Q + W

를 이용하여 모형이 주는 내부 에너지 차이와 비교하라.

자세한 풀이

풀이

문제 1. 그림에서 줄의 왼쪽 끝은 고정되어 있다. 오른쪽 끝은 오른쪽으로 당겨지며, 그 변위는

d L

이다. 줄이 받는 일은 줄이 늘어날 때 양수이다.

δ W = F_{ext} d L = K (L - L_{0}) d L .

힘이 일정하지 않으므로 다음과 같이 계산해야 한다.

W_{A \to B} = \int_{L_{A}}^{L_{B}} K (L - L_{0}) d L = [\frac{K}{2} (L - L_{0})^{2}]_{L_{A}}^{L_{B}} = \frac{K}{2} [(L_{B} - L_{0})^{2} - (L_{A} - L_{0})^{2}] > 0.

강성의 단위는 $N m^{- 1}$ 이므로 $K (L - L_{0})^{2}$ 의 단위는 $N m$ , 곧 줄(J)이다.

문제 2.

T_{B} = T_{A}

이므로 열적 항은 변하지 않는다. 기준 상수도 소거되므로

Δ U = C (T_{B} - T_{A}) + \frac{K}{2} [(L_{B} - L_{0})^{2} - (L_{A} - L_{0})^{2}] = W_{A \to B} .

그러면 제1법칙에서 $Q_{A \to B} = Δ U - W_{A \to B} = 0$ 이다. 이 이상적인 모형에서는 받은 일이 탄성 에너지로 저장된다. 온도는 일정하지만 내부 에너지는 증가한다. 따라서 등온이라고 해서 $Δ U = 0$ 인 것은 아니다. 여기서 $Q = 0$ 이라는 결과는 택한 모형에 따른 것이며 모든 물질로 확장되지 않는다.

문제 3. 적분 구간을 뒤바꾸면 적분의 부호가 바뀐다.

W_{B \to A} = \int_{L_{B}}^{L_{A}} K (L - L_{0}) d L = [\frac{K}{2} (L - L_{0})^{2}]_{L_{B}}^{L_{A}} = - W_{A \to B} .

따라서 왕복 전체에서 받은 일은 0이다. 줄은 저장했던 일을 되돌려 준다. 여기서는 부과된 법칙 때문에 일이 $L$ 의 함수인 탄성 에너지의 변화와 같아진다. 이는 이력 현상이 없는 이 모형과 이 과정들의 성질이지, 일 전달의 일반적인 성질이 아니다.