풀이가 있는 열역학 연습문제

병진, 회전, 열운동

연습문제 14 · 단원 4 — 열역학 제1법칙

쾨니히 정리
회전
운동 에너지
내부 에너지
마찰

문제

질량이 $m_{i}$ 인 입자 $N$ 개로 이루어진 계의 총 질량은 $M$ 이고, 질량 중심의 위치는 $R$ , 속도는 $V$ 이다. $ρ_{i} = r_{i} - R$ 로 놓고 속도를 다음과 같이 분해한다.

v_{i} = V + ω \times ρ_{i} + u_{i}^{'} .

전체 각속도 $ω$ 는 나머지 운동이 전체 각운동량을 갖지 않도록 고른다.

i \sum m_{i} u_{i}^{'} = 0, i \sum m_{i} ρ_{i} \times u_{i}^{'} = 0 .

항등식 $\sum_{i} m_{i} ∣ ω \times ρ_{i} ∣^{2} = ω \cdot I_{CM} ω$ 를 인정한다. 여기서 $I_{CM}$ 은 질량 중심에 대한 관성 텐서이다.

$E_{c} = \frac{1}{2} \sum_{i} m_{i} v_{i}^{2}$ 를 전개하고 세 교차항이 0임을 보여라. 이로부터 병진, 전체 회전, 나머지 운동으로의 분해를 이끌어 내라.
전체 병진과 전체 회전을 거시적 운동으로 세는 약속에서, 내부 에너지에 들어가는 운동 에너지는 무엇인가? 질량 중심 좌표계로 옮기기만 하면 열운동만 남는가?
질량 $M$ , 반지름 $R$ 인 균일한 원판이 고정된 축을 중심으로 처음에 각속도 $ω_{0}$ 로 회전한다. 관성 모멘트는 $I = M R^{2} /2$ 이다. 브레이크가 원판을 멈춘다. 원판과 브레이크로 이루어진 계는 단열되어 있고, 움직이지 않는 받침대는 일을 하지 않는다. 소산된 에너지는 모두 총 열용량이 일정한 $C$ 인 이 계 안에 남는다. 계의 내부 에너지 변화와 온도 상승을 구하라.
$M = 2, 0 kg$ , $R = 0, 10 m$ , $ω_{0} = 100 rad s^{- 1}$ , $C = 500 J K^{- 1}$ 일 때 변환된 에너지와 온도 상승을 계산하라. 이 에너지는 열의 형태로 계의 경계를 넘었는가?

힌트

\sum_{i} m_{i} ρ_{i} = 0

과 스칼라 삼중곱 항등식

(ω \times ρ_{i}) \cdot u_{i}^{'} = ω \cdot (ρ_{i} \times u_{i}^{'})

를 이용하라. 제동하는 동안

U + E_{c}^{macro}

가 보존된다.

자세한 풀이

풀이

문제 1. 질량 중심의 정의에서

\sum_{i} m_{i} r_{i} = M R

이다. 따라서

i \sum m_{i} ρ_{i} = i \sum m_{i} r_{i} - M R = 0 .

각 제곱을 전개하면

E_{c} = \frac{1}{2} M V^{2} + \frac{1}{2} i \sum m_{i} ∣ ω \times ρ_{i} ∣^{2} + \frac{1}{2} i \sum m_{i} u_{i}^{'}^{2} + V \cdot (ω \times i \sum m_{i} ρ_{i}) + V \cdot i \sum m_{i} u_{i}^{'} + i \sum m_{i} (ω \times ρ_{i}) \cdot u_{i}^{'} .

첫째 교차항은 질량 중심의 정의에 의해 0이다. 둘째 교차항은 나머지 운동량이 0이므로 0이다. 셋째 교차항은 스칼라 삼중곱에서

i \sum m_{i} (ω \times ρ_{i}) \cdot u_{i}^{'} = ω \cdot i \sum m_{i} (ρ_{i} \times u_{i}^{'}) = 0.

관성 텐서에 대해 주어진 항등식을 쓰면 다음이 남는다.

E_{c} = \frac{1}{2} M V^{2} + \frac{1}{2} ω \cdot I_{CM} ω + \frac{1}{2} i \sum m_{i} u_{i}^{'}^{2}

문제 2. 이 약속에서 내부 에너지에 대한 운동 에너지의 기여는 마지막 항 $\frac{1}{2} \sum_{i} m_{i} u_{i}^{'}^{2}$ 이다. 내부 에너지에는 내부 위치 에너지와 그 밖의 내부 자유도도 포함된다. 질량 중심 좌표계로 옮기면 병진 항은 사라지지만 전체 회전 항은 남는다. 그러므로 고정된 축을 중심으로 도는 원판은 질량 중심이 정지해 있어도 거시적 운동 에너지를 갖는다.

문제 3. 원판과 브레이크로 이루어진 계의 경계를 넘는 열과 일은 0이다. 받침대의 힘은 각운동량을 전달할 수 있지만, 작용점이 움직이지 않으므로 일은 전달하지 않는다. 그 밖의 거시적 에너지 변화를 무시하면 보존 법칙에서

Δ U + Δ E_{rotation} = 0.

원판이 멈추므로 $Δ E_{rotation} = 0 - \frac{1}{2} I ω_{0}^{2}$ 이다. 따라서

Δ U = \frac{1}{2} I ω_{0}^{2} = \frac{1}{4} M R^{2} ω_{0}^{2} > 0.

내부 열평형에 이르면 열용량이 일정한 모형에서 $Δ U = C (T_{f} - T_{i})$ 이므로

T_{f} - T_{i} = \frac{M R ^{2} ω _{0}^{2}}{4 C} .

마찰은 질서 있는 운동의 에너지를 계 안에서 내부 에너지로 바꾼다.

문제 4. 관성 모멘트는

I = 2, 0 (0, 10)^{2} /2 = 0, 010 kg m^{2}

이다. 따라서

Δ U = \frac{1}{2} (0, 010) (100)^{2} = 50 J, T_{f} - T_{i} = \frac{50}{500} = 0, 10 K .

$Q = 0$ 인데도 계의 온도가 올라간다. 이 에너지는 열의 형태로 경계를 넘은 것이 아니라, 처음부터 회전 운동 에너지로 계 안에 있었다.