풀이가 있는 열역학 연습문제

균일한 중력 구 조립하기

연습문제 15 · 단원 4 — 열역학 제1법칙

중력
상호작용 에너지
균일한 구
크기성
장거리

문제

반지름 $R$ 인 구에 질량 $M$ 이 밀도 $ρ_{m}$ 으로 균일하게 분포한다. 질량 요소들이 무한히 떨어져 있을 때를 0으로 하여, 이 구의 중력 위치 에너지 $U_{grav}$ 를 계산하려 한다.

같은 밀도를 유지하면서 동심 껍질을 하나씩 쌓아 구를 조립한다고 상상하자. 반지름이 $r$ 에 이른 단계에서 이미 조립된 질량은 $M (r)$ 이고, 무한히 먼 곳에서 질량 $d M$ 인 껍질을 가져온다. 안쪽 질량이 그 표면에 만드는 퍼텐셜은 $- GM (r) / r$ 이라고 인정한다. 계산은 중력 에너지만 다루며, 구의 역학적 평형은 가정하지 않는다.

이미 조립된 구와 $r$ 과 $r + d r$ 사이에 덧붙인 껍질을 그려라. $ρ_{m}$ , $M (r)$ , $d M$ 을 $M, R, r$ , $d r$ 로 나타내라.
껍질과 안쪽 구 사이의 상호작용 에너지를 쓰고, 적분하여 $U_{grav}$ 를 구하라. 결과를 2로 나누어야 하는가?
구는 질량 $m$ 인 구성 요소 $N$ 개를 포함하며 $M = N m$ 이다. 밀도 $ρ_{m}$ 을 고정하고 $R$ 을 $N$ 으로 나타낸 뒤, $U_{grav}$ 와 $U_{grav} / N$ 이 $N$ 에 어떻게 의존하는지 구하라.
구성 요소 $2 N$ 개로 된 구 하나의 에너지를, 구성 요소 $N$ 개씩으로 된 두 구가 무한히 떨어져 있을 때의 에너지 합과 비교하라. 모두 밀도는 같다. 차이의 부호와 크기성에 대해 논하라.

힌트

껍질의 부피는

4 π r^{2} d r

이다. 이미 자리 잡은 질량과 껍질의 상호작용 에너지는

d U_{grav} = - GM (r) d M / r

이다. 이렇게 셀 때 각 쌍은 그 바깥쪽 부분이 더해질 때 한 번 만난다.

자세한 풀이

풀이

문제 1. 그림은 반지름

r

, 질량

M (r)

인 공과 그것을 둘러싼 두께

d r

의 층을 보여 주며, 최종 반지름

R

이 표시되어 있다. 밀도가 균일하므로

ρ_{m} = \frac{M}{4 π R ^{3} /3} = \frac{3 M}{4 π R ^{3}}, M (r) = ρ_{m} \frac{4 π r ^{3}}{3} = M \frac{r ^{3}}{R ^{3}} .

따라서 덧붙인 질량은

d M = 4 π ρ_{m} r^{2} d r = \frac{3 M}{R ^{3}} r^{2} d r .

문제 2. 중력 퍼텐셜은 단위 질량당 에너지이다. 여기에 가져온 질량을 곱하면

d U_{grav} = - \frac{GM ( r )}{r} d M = - \frac{G}{r} \frac{M r ^{3}}{R ^{3}} \frac{3 M r ^{2}}{R ^{3}} d r = - \frac{3 G M ^{2}}{R ^{6}} r^{4} d r .

조립하는 모든 반지름에 대해 적분하면

U_{grav} = - \frac{3 G M ^{2}}{R ^{6}} \int_{0}^{R} r^{4} d r = - \frac{3 G M ^{2}}{R ^{6}} [\frac{r ^{5}}{5}]_{0}^{R} = - \frac{3 G M ^{2}}{R ^{6}} \frac{R ^{5}}{5} = - \frac{3 G M ^{2}}{5 R} .

새 층과 안쪽 층 사이의 각 상호작용은 한 번만 세어진다. 따라서 인자 $1/2$ 를 붙이면 안 된다. 무한히 얇은 껍질의 자체 에너지는 $(d M)^{2}$ 차수이므로 연속 극한에서 적분에 기여하지 않는다. 음의 부호는 인력을 나타낸다. 질량들을 떼어 놓으려면 에너지를 공급해야 한다. 끝으로 $G M^{2} / R$ 의 단위는 실제로 줄이다.

문제 3. 밀도가 고정되어 있으면

\frac{4 π R ^{3}}{3} = \frac{N m}{ρ _{m}}, R = (\frac{3 m}{4 π ρ _{m}})^{1/3} N^{1/3} .

에너지에 $M$ 과 $R$ 을 대입하면

U_{grav} = - \frac{3}{5} G m^{2} (\frac{4 π ρ _{m}}{3 m})^{1/3} \frac{N ^{2}}{N ^{1/3}} = - a_{g} N^{5/3}

이다. 여기서 $a_{g} = \frac{3}{5} G m^{2} (4 π ρ_{m} / (3 m))^{1/3} > 0$ 은 $N$ 과 무관하다. 따라서 구성 요소 하나당 에너지는 $U_{grav} / N = - a_{g} N^{2/3}$ 이다. 그 절댓값은 계의 크기와 함께 커지므로 세기 변수로 남지 않는다.

문제 4. 큰 구의 에너지는

U_{grav} (2 N) = - a_{g} 2^{5/3} N^{5/3}

이다. 무한히 떨어진 두 구는 서로의 상호작용이 0이므로 에너지의 합은

2 U_{grav} (N) = - 2 a_{g} N^{5/3}

이다. 그 차이는

U_{grav} (2 N) - 2 U_{grav} (N) = - a_{g} (2^{5/3} - 2) N^{5/3} < 0.

큰 구가 중력적으로 더 강하게 묶여 있다. 이 상태 비교만으로 두 구가 합쳐지는 동역학을 기술할 수는 없다. 다만 $U_{grav} (2 N) \neq = 2 U_{grav} (N)$ 임을 보여 준다. 즉 중력 에너지는 크기성을 갖지 않는다. 에너지 보존이 의심받는 것은 아니다. 크기성은 추가 가정이며, 이 장거리 상호작용에서는 성립하지 않는다.